级数求和的常用方法

1.7方程式法31.8将原级数转换为子序列加法31.9数项的级数化为函数项的级数和31.10化数项的级数用积分函数求原级数和41.11三角型的数项级数变换为多系数级数4计算1.12构造函数级数和51.13级数讨论子序列51.14裂项法求级数和61.15裂项分割组合法7用1.16限幅法解级数和7二函数项的级数和82.1方程式法82.2积分型级数加法8每2.3项求级数和9每2.4项积分求级数和92.5将原级数分解为已知级数10使用2.6傅立叶级数求级数和102.7三角级数对应于多个求出级数和11用2.8三角将简单的级数12公式化对2.92.7的扩展122 .追加第10项处理系数12使用2.11留数定理计算级数和13使用2.12函数求级数和14参考文献15级数和的一般方法级数首先要考虑收敛性，但本文以级数的合计为中心，所以相关的级数收敛，多讨论级数的收敛性问题因为无限级数加法是无限问题，所以我们只能得到一个极限和。 而且级数相加本身很困难，本文只讨论特殊情况，而级数相加的一般方法，主要以例题形式给出各种方法，期待能达到较高的事实性。一项级数的总和1.1等差级数和等差级数是单纯级数型，可通过比较各项目来得到公差，并可用式来求出和其中第一个是公差证明：、 得：因为是等差级数。因此，这个证明可以导出一种方法“首尾相加”1.2首尾相加这种类型的级数在将级数的各项倒过来后，原级数的四则运算和首尾的各四则运算的结果相同，就成为简单的级数的总和例1:请求解：把两式加起来：即.1.3等比级数和等比级数是单纯级数型，通过比较各项目，可以得到其公比，用式求和当=1， 当1时，其中的第一项是公比证明： 1的情况下，容易得到1、的情况-可以得到。 可以导出一种方法“偏差减法”。 请参见下面的1.41.4偏差减法此方法一般适用于等差和等比级数的混合型，通过乘以等比级数的公比，可运算为元级数的四则运算，成为等差或等比级数的合计示例2 :计算解、-得：=31.5包含型级数相消法这种类型的级数本身的各项之间有包含关系，经过观察，发现多个展开互相抵消一部分项，将简单级数的合计化。例3 :计算解：展开各项目的话：所以用1.6理化法求级数和几个级数通项中包含了分式根式的级数，所以可以模仿数学中常用的方法“理化学”，使级数通项化变得简单，最后能使级数整体的合计变得容易。示例4 :计算解：可以看出这个级数根式多，所以尝试了用理化的方法处理其分母有理化：原级数采用本文中的1.5“包含型级数相消法”时，可迅速求出级数和的界限为11.7方程式法这个型的级数可以用一系列的运算来组成级数和的方程式，通过解方程式来解级数和是重要的问题，方程式的类型并不固定，而是像微分方程式一样，所以需要根据情况来组成方程式，如果不正确地解方程式就无法求出级数和。例5 :计算，其中解：记=两边同时乘坐也就是说如果你解这个方程式.1.8将原级数转换为子序列的和如果以下条件成立，1:(1)当时的级数的通项(2)级数的各项不破坏顺序时，新的序列收敛为原级数示例6 :计算解：应用欧拉公式。 这里，欧拉常数是是.1.9数项的级数化为函数项的级数和将数项的级数变成相应的函数项的级数，再用函数项的级数相加，给函数给出未知数，就存储相应的原级数的和例7 :求级数和解：建立函数项的级数，从函数的收敛性的知识，可以求出其收敛域的函数项的级数，满足：=、微分方程式如果解这个常微分方程指令可以求出原来的级数和。1.10化数项级数用积分函数求原级数和也是简化原级数，构建积分极限式，进行积分求出原级数之和的好方法，构建积分式很重要，在一般原级数中，通过四则运算与积分中的分割相关联地构建分割，建立级数和积分式的桥梁。例8 :计算，其中解：记1.11三角型数项的级数转换为多系级数将三角型的数项级数变换为多个域上的级数，由于多个实部对应于数项级数，所以求出多个系数级数并进行变换以求出原来的级数和.例97 :设定、要求解：因为有多个，所以其中的双曲正切值另一方面=举止以下实部与原级数和即得相对应也就是说那时1.12结构函数计算级数和将级数的各项转换成其他函数式，求简级数和，是各项的简化函数是否基本统一，如何选择函数式来启用简化，将级数参数化为函数式中的未知数不是一般的通用函数，选择函数因情况而异，但也可以使用例107 :请计算以下级数公式：记其中。解：结构函数公式：该函数单调递减因为。满足=0是.代入主题级数公式，=.1.13级数地研究子序列引理1 :数列收敛的充分条件是所有子序列都收敛，并具有相同的极限。 尤其，数列收敛的充分条件是两个子列，并收敛于相同的极限。 可推进：定理1 :级数通项当时满足(收敛判别的必要条件)，收敛的足够条件是，部分和的一个子序列收敛，其中，某个正整数=1，2，将级数分成几个子序列的和，使用在原级数的收敛规则的级数上任意加括号而得到的级数和原级数和原理，通过求出各个子序列的和来求出原级数的和，如何将原级数分解为不同的子序列很重要，但子序列对原级数简单地求出例116 :计算：解：从级数的收敛性知识可以看出，这个级数绝对收敛。 在宽角的讨论中把级数分解为：原则：所以。1.14裂项法求级数和级数是分数形式，分母是多项的积形式，满足各项间有相同的整数时，裂项之后各项独立，原各项间有整数时，裂项之后的新级数等效于解某级数，其新级数可以由此求出，所以可以求出原级数。裂项一般形式：这里示例12 :计算解：记同样采用了裂项法=所以=.1.15裂项分割组合法并用裂项和分解组合法，使用裂项法分解级数，再组合分解级数，从新的级数求出原级数和示例13 :计算解：=.利用1.16限幅法求出级数和的方法在数学分析中使用夹紧法求极限，在求极限的过程中我们也参照这个方法，用两个级数来近似原级数，最后两个近似级数和等于原级数和。例148 :作为给定的正整数求出解：而且有时也就是说二函数项的级数和根据函数项的级数和未知数，在收敛域内寻找新的函数来描绘级数和2.1方程式法与数项级数类似，函数项级数构成方程式，由方程式求出函数项级数和例15 :计算函数项的级数解：从函数项级数收敛性知识来看，问题中的函数项级数收敛半径是按项目要求指导的话，会变成以下情况如果解这个微分方程2.2积分型级数加法积分型级数相加明显很难直接相加，通常也不能积分，所以要变换，可以考虑将积分式简单化，通过变量置换等积分技术将积分式简单化，求出级数和，所以处理积分式很重要，所以让我们看看例题。例16 :计算级数解：因为用以下方式替换了变量根据：是：=.所以原级数=每2.3项求级数和根据按项导出幂级数的收敛半径不变原理，按项导出原级数时，变成容易合计的幂级数，通过再次求出积分，求出原级数和.容易理解的级数多通过泰勒展式或麦克劳林展式得到。泰勒定理1 :如果函数所在区域存在阶数的连续导数，=，这里是拉格朗日的馀项。 在区间内作为与其相等的泰勒级数之和的充分条件：满足不等式的，上式右边称为那里的泰勒展开式。 从泰勒展开式可知右边是级数，但是在解级数时反过来，向着用级数和像求的方向前进，找出与各级数对应的导数形式，是以已知的泰勒级数的形式提取的。 但是，在实际应用中级数的应用很多，被称为麦克劳林级数。 在泰勒级数的定义中，导出了一些基本初等函数，基本初等函数导出了复合函数的级数和形式，反而求级数和。 这也不能说是求级数和的选择。 该方式在求前函数项级数和的过程中已经运用，在此总结的是比较普遍的方法。 每个级数项求积分法也是基于这个理论的。例17 :解解：根据莱布尼茨定理，可以判断出这个交错级数收敛，收敛区间为-1，1 ，可以按项导出级数(利用易知麦克劳林展式)积分回来就能得到级数和对每个2.4项积分求级数和根据按项积分级数使半径一定的原理，将原级数按项积分后，变成容易求出的幂级数，再导出，就能求出原级数示例18 :计算解：记住，请对每个项目进行积分=中，所以=2.5将原级数分解为已知级数因为分解为数学中的基本技术，通过改变为我们知道的知识来解决复杂的问题在很多地方都是好的想法，所以在解决级数和的问题时也导入了这个思想。 我知道以幂级数闻名的麦克劳林展式有几个。 我们想记住这些基本初等函数的展式，利用拉格朗日展式的角度来学习反思级数和的问题。 我们简单地导入问题来说明这种方式。 主要引进这个思想。示例19 :计算解：记所利用的麦克劳林展式，得到了=.利用2.6傅立叶级数求级数和通过结构函数，用延迟的方法求出该函数的傅立叶展开式，通过从收敛定理解函数值，就能求出原级数和，重要的是正确地找到傅立叶函数示例20 :计算解：结构傅立叶函数=，其中作为偶数延迟：=，傅立叶系数在：其中，、(其中)由狄利克雷收敛条件得到：其中现在是：甚至是：说明：如果有以上结果的数项级数的关系，就可以使用公式，例如，使用2.6的结果求出级数和，2.6的结果是常用的级数和式，所以我们可以直接使用/计算，其中满意。解：任意(0，1 )，记=、在威尔斯特拉斯定理中，级数收敛，因此主题中的级数以(0，1 )一致收敛因为如果引入上式，就能得到级数和。2.7三角级数对应于多个求级数和三角函数和多个有自然的对应关系，所以通过将其汇总到多个域，利用多个域的知识来解，得到原级数的和例227 :计算解：从多个域上的幂级数的麦克劳林展式，以及对应实部得到的，其中.用2.8三角将简单级数公式化三角级数还可以利用三角将简单的三角级数公式化，简化的级数比原来的级数更容易解，通常复杂级数的合计会被变换，并变换成能够合计的方向。示例23 :计算解：根据三角函数的积化和差式，原级数=其中未知数满足了。扩展到2.92.7这里的2.8的增长并不意味着2.8是共同的级数和公式，只是看别的问题就能运用2.8。 在这里，显示了在求级数和的过程中几个复杂的级数能用别的级数相加，所以遇到复杂的级数和时要注意日常积蓄的例子，平时就考虑是否遇到了类似的级数和问题。示例24 :计算解：令，由2.8可知=其中满足未知数，令，有由当时有。.2.10项处理系数的追加例25 :计算，其中解：令，当时=，在此到了：使用2.11留数定理计算级数和定理8 :函数满足以下两个条件时： (1)复平面有孤立奇点，(2)证明：研究周道积分另外，函数满足馀数定理的条件时，可以从定理中得到以下方程式(1)因为引理，csc ()是有界的，即存在的。 |双方都有限度也就是说：所以对(1)式取极限是0=.已证明结论的应用：例268 :求级数(不是0 )的和解：令，不为零时，如果满足定理的两个条件，则如下接近零时，可以使上式变形因为容易证明公式左边