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文档简介
等差数列的证明和最值,等差数列证明等差数列最值规律总结结束,考查等差数列的定义,多以证明题的形式出现,要证明一个数列是等差数列的基本方法是证明an1and(nN*,d为常数)或2an1anan2成立对于实际问题,要结合题目的具体特点,灵活选取解答方法,得2(n1)an(n1)an1(n1)an1,n2,n10.2anan1an1.数列an为等差数列点评:(1)是利用等差数列的定义进行证明;(2)是通过等差中项进行证明体会两种方法各自的特点,由下列各表达式给出的数列anSna1a2ann2;Sna1a2ann21;a2n+1anan2;2an1anan2(nN*)其中表示等差数列的是()ABCD答案:A,规律总结:1.判断或证明数列an为等差数列,常见的方法有以下几种:(1)利用定义:an1and(nN*)或anan1d(nN*,n2),其中d为常数;(2)利用等差中项:2an1anan2;(3)利用通项公式:若数列an的通项公式为andnc(d、c为常数),则数列an为等差数列(当d0时,数列的通项公式是关于n的一次函数,该数列an为等差数列;当d0时,数列an为常数列,也是等差数列);,(4)利用前n项和公式:若数列an的前n项和公式为Snan2bn(a、b为常数),则数列an为等差数列但要注意,证明数列为等差数列必须用定义或等差中项去证明;在选择题和填空题中,可用其他方法判断2若要证数列an不是等差数列,可证明2a2a1a3.,此题型常见有两类,一类是求数列中某项的最值问题;一类是求数列前n项和Sn的最值问题需要结合不等式、函数等知识综合解答【例4】在等差数列an中,a125,S9S17,问此数列前几项的和最大?分析一:本题以数列为核心知识,在考查等差数列基本知识的同时,考查了数列求最值的方法由已知列方程,得出d,从而将Sn转化为关于n的二次函数求最值,解法三:由a125,S9S17,知此数列必递减,且a10a11a12a170,又由等差数列性质有a10a17a11a16a12a15a13a14,4(a13a14)0,数列递减,a13a14,a130a14,故此数列前13项和S13最大分析四:先求出d,然后利用an0,an10解n.解法四:同解法一求得d2,由an0且an10,即a12a11a10.以上两式相加得(a1a12)(a2a11)(a12a1)0,由等差数列性质知,12(a1a12)0,即a6a70.同理,由S130,a70,S130,,A0,如图所示,设抛物线与x轴交于x0,则x0(12,13),其对称轴为x(6,6.5)因此,当n(6,6.5)时取最大值,又nN*,n6时,Sn最大,1如果pqrs,则apaqaras,一般地,apaqapq.必须是两项相加,当然可以是aptapt2ap.2等差数列的通项公式通常是n的一次函数,除非公差d0.3等差数列的前n项和公式是
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