向量组及其线性组合

第二节 向量组及其线性组合内容分布图示 n维向量的概念 向量组与矩阵 向量的线性运算 例1 例2 线性方程组的向量形式 向量组的线性组合 例3 例4 例5 定理1 例6-8 例9 向量组间的线性表示 内容小结 课堂练习 习题3-2 返回内容要点：一、维向量及其线性运算定义1 个有次序的数所组成的数组称为维向量, 这个数称为该向量的个分量, 第个数称为第个分量.注：在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象. 引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），此即上面定义的3维向量. 因此，当时，维向量可以把有向线段作为其几何形象. 当时，维向量没有直观的几何形象.若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组. 例如，一个矩阵每一列组成的向量组称为矩阵的列向量组，而由矩阵的的每一行组成的向量组称为矩阵的行向量组. 根据上述讨论，矩阵记为 或 .这样，矩阵就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系.矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组. 而线性方程组的全体解当时是一个含有无限多个维列向量的向量组.定义2 两个维向量与的各对应分量之和组成的向量，称为向量与的和, 记为，即 由加法和负向量的定义，可定义向量的减法：.定义3 维向量的各个分量都乘以实数所组成的向量，称为数与向量的乘积（又简称为数乘），记为，即.向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算. 注：向量的线性运算与行（列）矩阵的运算规律相同，从而也满足下列运算规律:(1) ;(2) ;(3) (4) (5) (6) (7) (8) 二、向量组的线性组合考察线性方程组 (1)令 则线性方程组(1)可表为如下向量形式: (2)于是, 线性方程组(1)是否有解, 就相当于是否存在一组数使得下列线性关系式成立：定义4 给定向量组，对于任何一组实数, 表达式称为向量组的一个线性组合, 称为这个线性组合的系数.定义5 给定向量组和向量, 若存在一组数使则称向量是向量组的线性组合, 又称向量能由向量组线性表示(或线性表出).注：(1)能由向量组唯一线性表示的充分必要条件是线性方程组有唯一解；(2) 能由向量组线性表示且表示不唯一的充分必要条件是线性方程组有无穷多个解；(3) 不能由向量组线性表示的充分必要条件是线性方程组无解；定理1 设向量，则向量能由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵与矩阵的秩相等.三、向量组间的线性表示定义6 设有两向量组若向量组B中的每一个向量都能由向量组A线性表示, 则称向量组B能由向量组A线性表示.若向量组A与向量组B能相互线性表示, 则称这两个向量组等价.按定义, 若向量组B能由向量组A线性表示, 则存在使所以其中矩阵称为这一线性表示的系数矩阵.引理 若 则矩阵的列向量组能由矩阵的列向量组线性表示, 为这一表示的系数矩阵. 而矩阵的行向量组能由的行向量组线性表示, 为这一表示的系数矩阵.定理2 若向量组可由向量组线性表示, 向量组可由向量组线性表示, 则向量组可由向量组线性表示.例题选讲：维向量及其线性运算例1(讲义例1)设 如果向量满足 求.例2 (讲义例2)设(1) 求 ; (2) 若有, 满足 求 例3 设 由于, 因此是的线性组合. 例4 证明:向量是向量的线性组合并具体将用表示出来. 例5 证明: 向量可以用多种方式表示成向量及的线性组合.向量组的线性组合例6 (讲义例3) 任何一个维向量都是维向量单位组的线性组合.因为 例7 (讲义例4) 零向量是任何一组向量的线性组合.因为 例8 (讲义例5) 向量组中的任一向量都是此向量组的线性组合.因为 例9 (讲义例6)判断向量与是否各为向量组 的线性组合. 若是, 写出表示式.课堂练习1.试问