02锐角三角比正、余弦定理教师初一寒假竞赛超常班

锐角三角比：锐角三角比：正、正、余弦定理余弦定理 1 / 8 第二讲 锐角三角比：正、余弦定理 【正弦定理】【正弦定理】 在在ABC中中，A、B、C所对三边长分别为所对三边长分别为a，b，cR为为ABC外接圆的半径则外接圆的半径则 2 sinsinsin abc R ABC 【余弦定理】【余弦定理】 形式一形式一： 222 2cosabcbcA， 222 2cosbacacB， 222 2coscababC 形式二形式二： 222 cos 2 bca A bc ， 222 cos 2 acb B ac ， 222 cos 2 abc C ab 【同角三角函数关系同角三角函数关系】 在在RtABC中中，C=90，则则 22 sincos1AA 提示提示：由正弦定理由正弦定理2 sinsinsin abc R ABC ，及及cossinAB ， 222 abc得得 2222 22 222 22 sincossinsin (2sin) ()()(sin90 )1 22(2 )(2 ) AAAB abcRC RRRR 锐角三角比：锐角三角比：正、正、余弦定理余弦定理 2 / 8 1. 已知已知 为锐角为锐角， 1 sin 3 ，求求cot 解解：090 ，且且 1 sin 3 2 2 12 2 cos1sin1 33 cos cot2 2 sin 2. 计算计算： cos60tan45 cot302cot45 解解：原式原式 1 1 3 2 1 232 3. 在在 ABC中中，已知已知6a ，31b ，C=45 ，求求c 解解： 22 2coscababc 2 2 6( 31)6 2( 31) 2 4 2 4. 在在 ABC中中，a=8，b=7，B=60 ，求求c的值的值 解解： 2220 7816 cos60cc 即即 2 8150cc 3c 或或5 5. 已知已知b=2，A=60 ，C=75 ，求求a的值的值 解解：由于由于 00 18045BAC 锐角三角比：锐角三角比：正、正、余弦定理余弦定理 3 / 8 由正弦定理知由正弦定理知：sin3 sin b aA B 6. 在在 ABC中中，已知已知a=3，b=7，c=2，求求B的值及的值及 ABC S 解解：由由 222 1 cos 22 acb B ac 所以所以 0 60B 1 sin 2 ABC SacB 133 3 3 2 222 7. 在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为 ， 由此点向塔顶沿直线走由此点向塔顶沿直线走30米米， 测得塔顶的仰角为测得塔顶的仰角为2， 再向塔前进再向塔前进103米米，又测得塔顶的仰角为又测得塔顶的仰角为4，求求塔高塔高 解解：如图如图，塔为塔为AB，由三角形外角定理可知有两个等腰三角形存在由三角形外角定理可知有两个等腰三角形存在， 从而从而BD=ED=30，BC=CD=103， 由余弦定理由余弦定理：在在BCD中可得中可得cos2= 3 2 ，2=30 ， 在在RtBAD中中，AB= 1 2 BD=15m. 8. 甲、乙两楼相距甲、乙两楼相距20m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为从乙楼底望甲楼顶的仰角为60 ，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30 ，求求甲、甲、 乙两楼的高乙两楼的高 解解：如图所示如图所示，设设AB是乙楼是乙楼，CD是甲楼是甲楼，在在RtACD中中，AC=20， CAD=60 ， CD=ACtan60 =203，AD= cos60 AC =40. 在在ABD中中，AD=40，BDA=30 ，ABD=120 ， AB= sin40 3 sin3 ADADB ABD . 9. 在在ABC 中中，已知已知14b ，30A ，120B ，求求a的值及的值及 ABC S 解解：根据正弦定理及已知根据正弦定理及已知，有有 sin14sin3014 3 sinsin1203 bA a B EDCA B 锐角三角比：锐角三角比：正、正、余弦定理余弦定理 4 / 8 因为因为180()180(30120 )30CAB， 所以所以 1114 349 3 sin14sin30 2233 SabC 10. 在在 ABC中中，a=10，b=32 ，c=32 ，求求sinsinbBcC 的值的值 解解：由余弦定理知由余弦定理知： 222 2cosabcbcA，得得 0 cos0A 故故 00 90 ,90ABC 10 sinsinsin bca BCA ，即即10sin,10sinbB cC 22 22 sinsin10sin10sin 10sin10cos 10 bBcCBC BB 11. 如图如图， 在四边形在四边形ABCD中中， 已知已知ADCD ，10AD ，14AB ，60BDA，135BCD， 求求BC的长的长 解解：在在ABD 中中，设设BDx ， 则则 222 2cosBABDADBD ADBDA， 即即 222 14102 10cos60 xx ， 2 10960 xx， 1 16x ， 2 6x （舍去舍去） ，） ， 由正弦定理由正弦定理： sinsin BCBD CDBBCD ， 16 sin308 2 sin135 BC 12. 在在 ABC中中，AB=3，BC=3，AC=4，求求AC边上中线边上中线BD的长的长 解解：在在ABC 中中，由余弦定理知由余弦定理知 222 cos 2 ABACBC A AB AC 31695 3 128 3 在在ABD 中中 22 2cosBDABADAB ADA D C B A 锐角三角比：锐角三角比：正、正、余弦定理余弦定理 5 / 8 2 13. 如图如图，已知已知B=45 ，D是是BC上一点上一点，AD=5，AC=7，DC=3，求求AB的长的长 解解：作作AEBC 于于E 由于由于 222 1 cos 22 ADDCAC ADC AD DC 0 120ADC，即即 0 60ADE 35 3 22 AEAD 5 6 2 2 ABAE 14. 在在 ABC中中，已知已知b=5，c=42，B=45 ，求求 ABC的面积的面积 解解：由题意知由题意知，根据余弦定理根据余弦定理 222 2cosACABBCAB BCB 即即 2 2 25328 2 2 BCBC 2 870aa 1a 或或7a （1）当当1a 时时， 112 sin4 22 222 ABC SacB （2）当当7a 时时， 112 sin7 4 214 222 ABC SacB 综上综上，ABC 面积为面积为2或或14 15. 已知三正数已知三正数, ,x y z，满足方程组满足方程组 2 2 22 2 2 9 22 16 232 25 3 xyy x yyzz z xzx ，求求32xyyzzx的值的值 解解：原方程组变形为原方程组变形为 ED CB A D CB A 5 4 3 P C B A 锐角三角比：锐角三角比：正、正、余弦定理余弦定理 6 / 8 2 22 22 2 2 22 1 23 222 3 24 22323 3 25 233 yy xx yzyz zz xx 因此分别以因此分别以, 23 yz x为为P点连接点连接ABC 三顶点的线段长三顶点的线段长 且且ABC ，三边长为三边长为3，4，5即即ABC 为为Rt 由图可知由图可知： 0 00 ,60 ,150 ,150 23 yz PAx PBPCAPBBPCCPA PABPBCPCA SSS 000 111 sin60sin150sin150 2222233 yyzz xx 663 82412 6 (32) 24 xz xyyz xyyzzx 6 32 24 6 ABC S xyyzzx 16. 在等腰直角三角形在等腰直角三角形ABC中，中，90ACB，P是是ABC内一点，使得内一点，使得11PA，7PB ，6PC ， 求求边边AC的长为的长为 锐角三角比：锐角三角比：正、正、余弦定理余弦定理 7 / 8 17. 如图如图， 在， 在ABC 中， 已知中， 已知60BAC，2ABAC ， 点， 点P在在ABC 内， 且内， 且3PA ，5PB ， 2PC 求求APC 的度数的度数及及ABC 的面积的面积 锐角三角比：锐角三角比：正、正、余弦定理余弦定理 8 / 8 1. 求求边长为边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和的三角形的最大角与最小角的和