14同余初步预初进阶进度一教师VIP

同余初步【除法概念】如果自然数除以自然数，商是，余数为，则，其中与都是整数，而且。【同余概念】如果两个自然数与被自然数除时，所得余数相同，即，那么就称与关于模同余，用式子表示为：。读作：与关于模同余，或同余于模。同余的性质 (注意同余式与等式在变形中的异同点)性质1 ；性质2（同余的运算）可加可乘性：可倍性：ab(mod m)kakb(mod m) (k为正整数).可乘方：ab(mod m) anbn(mod m) (n为正整数)性质3 传递性： 1 甲、乙两个自然数，它们的和被3除余1，它们的差能被3整除，求甲数被3除的余数解：甲、乙两数差被3整除 ，则甲、乙两数被3除余数相同。 如果均为整除，则与和被3除余1矛盾； 如果均余1，则和被3除余2，不行； 如果均余2，则和被3除余1，符合要求。所以，甲数被3除余2。2 某个自然数被247除余63，被248除余63，求这个自然数被26除的余数。解：设所求自然数减去63，差是。 则A能被247与248整除， 所以能被13与2整除。 ， 所以能被26整除。而后来的自然数是，所以这个自然数被26除余11。3 已知，则被103除的余数是什么?解：原式 所以 余数为1。4 有一整数，除，得到相同的余数，问这个整数是几？解：设整数为，商数分别为，相同余数为。 ，-，-这样所求整数是38，57公因数，但，。所以，这个整数是19。5 有一个整数，用它去除63、91、129，得到三个余数的和是25，求这个整数解：设，则，即 ，分析可知 。6 有一列数1，3，4，7，11，18，（从第三个数开始，每个数恰好是它前面相邻两个数之和）。问：第2012个数被6除余几？解：写出每个数被6除的余数为，发现，从第25个余数开始重复出现，即周期为24。所以 ，则余数为1。7 将既能被5整除又能被7整除的自然数，自105起从小到大排成一行，共有2012个数。这2012个数的和被11除余数是几？解：5和7的最小公倍数从105起：这些数被11除的余数分别是：并以这11个数为周期出现，而，可以被11整除。，所以这2012个数的和被11除的余数是7。8 （1）今天是星期日，过天是星期几？解：因为，所以。因此，过天是星期二。（2）求388除以5的余数.解：383 (mod 5)，38838(32)4(1)41 (mod 5).(注意 9除以5余4，1除以5也是余4，321 (mod 5)（3）41989除以9的余数.41989=(43)663 641(mod 9) 646631663 1.（4）求198919901990的余数.余数是1. 19891 (mod 1990) 19891990(1)19901 (mod 1990).9 求乘积除以所得的余数。解：若先求乘积再求余数，计算量太大，利用同余的性质可以使“大数化小”，减少计算量。 因为，则 ，。 所以乘积除以所得的余数是16。10 将从左往右依次排成一个51位数，这个数被11除的余数是多少？解：对11来说，奇数位上数字和与偶数位上数字和的差被11整除，它的余数与原数被11除的余数相等。所以，这个51位数： 奇数位上数字：之和是115； 偶数位上数字： 之和是53。， ， 所以，余数是7。11 一个自然数N被10除余9，被9除余8，被8除余7，被7除余6，被6除余5，被5除余4，被4除余3，被3除余2，被2除余1，求N的最小值 解：依题能被整除，所以最小为。所以。12 一个盒子里有不多于200个棋子，如果每次2个，或每次3个，或每次4个，或每次6个地取出，最终盒内都剩一个棋子;如果每次11个地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少个棋子？解：因为最小公倍数是12，所以盒子里棋子数减去1是12的倍数， 所以棋子数。 又因为棋子数能被11整除，所以只能是121。所以盒子里共有121个棋子。13 用0、1、9、9四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与非零自然数n之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n由小到大排成一列试求：的值解：所有可能的四位数有： 它们被7除的余数分别为，即余数只有。 它们加1，2，3都有被7除余1情形出现 而加4之后成为余数没有一个被7除余1 所以4为最小n，。 又加5，6后，被7除均余1 而加7之后为没有一个被7除余1 所以7是次小的n，即 14 有一张纸片，第一次将它撕成4小片，第二次将其中的一张又撕成4小片，以后每一次都将其中的一小张撕成更小的4片，请问（1）撕了五次后，一共得到多少张纸片？（2）能否撕成2011张纸片？2012张呢？解：（1）每撕一次增加3张小纸片，因此撕5次后共有纸片（张）（2）因为每撕一次增加3张纸片，所以纸片数永远是除以3余1，所以能撕成2011张纸片。但是，所以不能撕成2012张纸片。作业：1 除以3的余数是几？为什么？解：因为 故除以3的余数是2 。2 求除以7的余数。解：因为，所以。又因为 所以 所以除以7余数是6 。备用：1. 一个自然数在1000到1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，这个自然数是几？解：被3除余1，被5除余2，被7除余3的最小的自然数是52，而，因此有（是自然数），当时，满足条件。所以这个自然数是1102。2. 甲、乙、丙三数之和是100，甲数除以乙数，或丙数除以甲数，得数都是商5余1，乙数是多少？解：设乙数为，则甲数为，丙数为， ， 所以，乙数为3。3.有13袋分别装有2，3，5，7，9，10，11，13