高中物理微专题讲义：微专题06--共点力作用下的动态平衡问题

微专题06 共点力作用下的动态平衡问题【核心要点提示】动态平衡问题：所谓动态平衡是指在预设情景中对物体受力大小和方向、空间位置等发生一系列缓慢变化，由于在变化过程“缓慢”，可以认为在变化过程中物体仍然受力平衡。【核心方法点拨】处理共点力作用下平衡的方法：(1)涉及三个力的动态平衡问题解决方法：动态图解法、相似三角形法，极个别情况需要运用数学正弦定理解决问题。(2)涉及四个及四个以上力的动态平衡问题一般采用解析法，通过寻找变化力的函数解析式，运用数学函数知识判断力的变化情况【微专题训练】【经典例题选讲】类型一：图解法解决动态平衡【例题1】(2016全国卷，14)质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上。用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图所示。用T表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中()AF逐渐变大，T逐渐变大BF逐渐变大，T逐渐变小CF逐渐变小，T逐渐变大DF逐渐变小，T逐渐变小【解析】对O点受力分析如图所示，F与T的变化情况如图，由图可知在O点向左移动的过程中，F逐渐变大，T逐渐变大，故选项A正确。【答案A】【变式1】如图所示，质量相同分布均匀的两个圆柱体a、b靠在一起，表面光滑，重力均为G，其中b的下一半刚好固定在水平面MN的下方，上边露出另一半，a静止在平面上现过a的轴心施以水平作用力F，可缓慢地将a拉离水平面且一直滑到b的顶端，对该过程进行分析，应有()A拉力F先增大后减小，最大值是GB开始时拉力F最大为G，以后逐渐减小为0Ca、b间弹力由0逐渐增大，最大为GDa、b间的弹力开始时最大为2G，而后逐渐减小到G【解析】对圆柱体a受力分析可知，a受重力、b的弹力和拉力F三个力的作用，拉力F方向不变，始终沿水平方向，重力大小、方向均不变，b的弹力始终沿两轴心的连线，画出力的矢量三角形分析易得b的弹力N，拉力F，由于逐渐增大，所以b的弹力和拉力F均逐渐减小，开始时的最大值分别为2G和G，而后逐渐减小，至90时，最小值分别为G和0.故选项B、D正确【答案】BD类型二：运用正弦定理解决动态平衡问题【例题2】图所示，置于地面的矩形框架中用两细绳拴住质量为m的小球，绳B水平。设绳A、B对球的拉力大小分别为F1 、F2，它们的合力大小为F。现将框架在竖直平面内绕左下端缓慢旋转90，在此过程中 ( ) AF1先增大后减小 BF2先增大后减小 CF先增大后减小 DF先减小后增大【答案】B【变式2】【2017新课标卷】如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为（）。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中AMN上的张力逐渐增大BMN上的张力先增大后减小COM上的张力逐渐增大DOM上的张力先增大后减小【答案】AD【解析】以重物为研究对象，受重力mg，OM绳上拉力F2，MN上拉力F1，由题意知，三个力合力始终为零，矢量三角形如图所示，在F2转至水平的过程中，MN上的张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小，所以AD正确，BC错误。类型三：运用相似三角形法解决动态平衡问题【例题】如图所示，杆BC的B端用铰链固定在竖直墙上，另一端C为一滑轮重物G上系一绳经过滑轮固定于墙上A点处，杆恰好平衡若将绳的A端沿墙缓慢向下移(BC杆、滑轮、绳的质量及摩擦均不计)，则()A绳的拉力增大，BC杆受绳的压力增大B绳的拉力不变，BC杆受绳的压力增大C绳的拉力不变，BC杆受绳的压力减小D绳的拉力不变，BC杆受绳的压力不变【解析】选取绳子与滑轮的接触点为研究对象，对其受力分析，如图所示绳中的弹力大小相等，即FT1FT2G，C点处于三力平衡状态，将三个力的示意图平移可以组成闭合三角形，如图中虚线所示，设AC段绳子与竖直墙壁间的夹角为，则根据几何知识可知F2Gsin，当绳的A端沿墙缓慢向下移时，绳的拉力不变，增大，F也增大，根据牛顿第三定律知，BC杆受绳的压力增大，B正确【答案】B【变式】(多选)如图所示，固定在竖直平面内的半径为R的光滑圆环的最高点C处有一个光滑的小孔，一质量为m的小球套在圆环上，一根细线的一端拴着这个小球，细线的另一端穿过小孔C，手拉细线使小球从A处沿圆环向上移动在移动过程中手对细线的拉力F和轨道对小球的弹力FN的大小变化情况是() A缓慢上移时，F减小，FN不变B缓慢上移时，F不变，FN减小C缓慢上移跟匀速圆周运动相比，在同一位置B点的拉力相同D缓慢上移跟匀速圆周运动相比，在同一位置B点的弹力相同【解析】小球在缓慢上移时可认为每一瞬间都受力平衡，分析小球受力，其受到重力、轨道给予的弹力和细线的拉力作用，作出力的矢量三角形(图略)，无论小球运动到哪个位置，总有力的矢量三角形与几何三角形相似，可得弹力FNmg，而F的大小正比于小球与顶端小孔间的细线长，细线变短，F减小，A正确，B错误无论是缓慢上移还是做匀速圆周运动，在同一位置其在切线方向的合力为零，但在半径方向的合力大小与速度大小有关，故弹力的大小与速度的大小有关，但细线的拉力相等，且F2mgsin ，C正确，D错误【答案】AC类型四：运用解析法解决动态平衡问题(通法)【例题】如图所示，3根轻绳悬挂着两个质量相同的小球并保持静止，绳AD与AC垂直现对B球施加一个水平向右的力F，使B缓慢移动到图中虚线位置，此过程中AD、AC两绳张力TAC、TAD的变化情况是()ATAC变大，TAD减小BTAC变大，TAD不变CTAC减小，TAD变大 DTAC不变，TAD变大解析：选C.以B为研究对象，受力分析如图甲所示将B缓缓拉到图中虚线位置的过程，绳子与竖直方向夹角变大，由B球受力平衡得TABcos mg，TABsin F，所以绳子AB的张力TAB逐渐变大，F逐渐变大再以A、B整体为研究对象受力分析，如图乙所示，设AD绳与水平方向夹角为，AC绳与水平方向夹角为(90)，并以AC、AD为坐标轴正方向，可得TAD2mgsin Fsin ，TAC2mgcos Fcos ，、不变，而F逐渐变大，故TAD逐渐变大，TAC逐渐减小，C正确【变式】(2016全国卷，19)(多选)如图，一光滑的轻滑轮用细绳OO悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b。外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态。若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则()A绳OO的张力也在一定范围内变化B物块b所受到的支持力也在一定范围内变化C连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化D物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化【解析】由于物体a、b均保持静止，各绳角度保持不变，对a受力分析得，绳的拉力Tmag，所以物体a受到绳的拉力保持不变。由滑轮性质，滑轮两侧绳的拉力相等，所以b受到绳的拉力大小、方向均保持不变，C选项错误；a、b受到绳的拉力大小、方向均不变，所以OO的张力不变，A选项错误；对b进行受力分析，如图所示。由平衡条件得：Tcos fFcos ，Fsin FNTsin mbg。其中T和mbg始终不变，当F大小在一定范围内变化时，支持力在一定范围内变化，B选项正确；摩擦力也在一定范围内发生变化，D选项正确。【答案】BD【变式】在上海世博会最佳实践区，江苏城市案例馆中穹形门窗充满了浓郁的地域风情和人文特色如图所示，在竖直放置的穹形光滑支架上，一根不可伸长的轻绳通过光滑的轻质滑轮悬挂一重物G.现将轻绳的一端固定于支架上的A点，另一端从B点沿支架缓慢地向C点靠近(C点与A点等高)则绳中拉力大小变化的情况是()A先变小后变大 B先变小后不变C先变大后不变 D先变大后变小【答案】C类型五：由摩擦力方向不确定导致摩擦力变化的讨论【例题】如图所示，放在斜面上的物体处于静止状态，斜面倾角为30，物体质量为m，若想使物体沿斜面从静止开始下滑，至少需要施加平行斜面向下的推力F0.2mg，则()A若F变为大小0.1mg，沿斜面向下的推力，则物体与斜面的摩擦力是0.1mgB若F变为大小0.1mg沿斜面向上的推力，则物体与斜面的摩擦力是0.2mgC若想使物体沿斜面从静止开始上滑，F至少应变为大小1.2mg沿斜面向上的推力D若F变为大小0.8mg沿斜面向上的推力，则物体与斜面的摩擦力是0.7mg【解析】由题意可知，物体和斜面间的最大静摩擦力Ff m0.7mg，故若物体上滑，其最小推力F0.5mg0.7mg1.2mg，C正确；若F0.8mg上推时，Ff0.8mg0.5mg0.3mg，D错误；当F0.1mg向下时，Ff0.5mg0.1mg0.6mg，A错；当F0.1mg向上时，Ff0.5mg0.1mg0.4mg，B错【答案】C【变式】(2018杭州市五校联盟“一诊”)如图所示，质量为m的长方体物块放在水平放置的钢板C上，物块与钢板间的动摩擦因数为，由于光滑固定导槽A、B的控制，该物块只能沿水平导槽运动。现使钢板以速度v1向右匀速运动，同时用水平力F拉动物块使其以速度v2(v2的方向与v1的方向垂直，沿y轴正方向)沿槽匀速运动，以下说法正确的是()A若拉力F的方向在第一象限，则其大小一定大于mgB若拉力F的方向在第二象限，则其大小可能小于mgC若拉力F的方向沿y轴正方向，则此时F有最小值，其值为mgD若拉力F的方向沿y轴正方向，则此时F有最小值，其值为mg解析：物块有相对于钢板水平向左的速度v1和沿导槽的速度v2，故物块相对于钢板的速度如图所示，滑动摩擦力方向与相对运动方向相反，物块做匀速运动，所受导槽的作用力和拉力F的合力与滑动摩擦力大小相等、方向相反，由几何关系易知，F的方向沿y轴正方向时有最小值，即Ffcos mgcos mgmg，故B、D正确。【答案】BD【变式】(2015吉林一模)如图所示，在一绝缘斜面C上有一带正电的小物体A处于静止状态，现将一带正电的小球B沿以A为圆心的圆弧缓慢地从P点转至A正上方的Q点处，已知P、A在同一水平线上，且在此过程中物体A和C始终保持静止不动，A、B可视为质点关于此过程，下列说法正确的是()A物体A受到斜面的支持力先增大后减小B物体A受到斜面的支持力一直增大C地面对斜面C的摩擦力先增大后减小D地面对斜面C的摩擦力逐渐减小【解析】以小物块A为研究对象，受力分析如图1所示，重力mg、斜面的支持力Nx、斜面给A的摩擦力fx(大小方向都变化)、沿BA方向的库仑力F，沿斜面和垂直斜面建立坐标系，物体受到斜面的支持力NxmgyFy，其中重力沿y方向的分力mgy不变，F沿y方向的分力Fy逐渐增大，当F与y轴重合时最大，再向重力方向转动过程中分力又开始减小，故A选项正确，B选项错误；以小物块和斜面体整体为研究对象，受力分析如图2所示，受到重力(Mm)g、地面的支持力ND、地面的摩擦力fD和沿BA方向的库仑力F，沿x方向有fD Fx，分解即得出地面对斜面C的摩擦力一直减小，C选项错误，D选项正确【答案】AD【巩固习题】1.【2017天津市五区县高三上学期期末考试】如图所示，高空作业的工人被一根绳索悬在空中，已知工人及其身上装备的总质量为m，绳索与竖直墙壁的夹角为，悬绳上的张力大小为F1，墙壁与工人之间的弹力大小为F2，重力加速度为g，不计人与墙壁之间的摩擦，则ABC若缓慢增大悬绳的长度，F1与F2都变小D若缓慢增大悬绳的长度，F1减小，F2增大【答案】C2.一铁球通过3段轻绳OA、OB、OC悬挂在天花板上的A点，轻绳OC拴接在轻质弹簧测力计上第一次，保持结点O位置不变，某人拉着轻质弹簧测力计从水平位置缓慢转动到竖直位置，如图7甲所示，弹簧测力计的示数记为F1.第二次，保持轻绳OC垂直于OA，缓慢移动轻绳，使轻绳OA从竖直位置缓慢转动到如图乙所示位置，弹簧测力计的示数记为F2.则()AF1先增大后减小，F2逐渐减小BF1先增大后减小，F2逐渐增大CF1先减小后增大，F2逐渐减小DF1先减小后增大，F2逐渐增大【解析】对甲、乙两图中的O点受力分析，两根绳的合力等于铁球的重力，其大小和方向不变，如图所示甲图中F1先减小，后增大；乙图中F2逐渐增大选项D正确【答案】D3.(2017河北定州中学月考)如图所示，用恒力F将物体压在粗糙竖直墙面上，当F从实线位置绕O点顺时针转至虚线位置时，物体始终静止，则在这个过程中，物体所受摩擦力f与墙面对物体弹力FN的变化情况是 ()Af方向可能一直竖直向上Bf先变小后变大CFN先变小后变大DFN先变小后变大再变小解析物体始终静止，则物体受力平衡，对物体进行受力分析，若F斜向左下，设与水平方向的夹角为，根据平衡条件得fmgFsin，FNFcos，当F从实线位置绕O点顺时针转至水平位置的过程中，减小，则sin减小，cos增大，所以f减小，FN增大；若F斜向左上，设与水平方向的夹角为，根据平衡条件得fmgFsin，若Fsink1)的另一轻弹簧，在其他条件不变的情况下仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为FT2，弹簧的弹力为F2。下列关于FT1与FT2、F1与F2大小之间的关系，正确的是()AFT1FT2 BFT1FT2CF1F1，A、D错误，B、C正确。答案：BC7.如图所示，质量均为m10 kg的A、B两物体放在粗糙的水平木板上，中间用劲度系数为k5102 N/m的弹簧连接，刚开始时A、B两物体处于平衡状态，弹簧的压缩量为x5 cm.已知两物体与木板间的动摩擦因数均为，重力加速度g10 m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力现将木板的右端缓慢抬起，木板形成斜面，在木板缓慢抬起过程中，以下说法正确的是() AA先开始滑动，A刚开始滑动时木板的倾角30BA先开始滑动，A刚开始滑动时木板的倾角60CB先开始滑动，B刚开始滑动时木板的倾角30DB先开始滑动，B刚开始滑动时木板的倾角60【解析】木板水平时，由胡克定律可知弹簧的弹力Fkx25 N，两物体与木板间的最大静摩擦力均为Ffmaxmg50 N，当木板抬高后倾角为时，对A：mgsin FFfA，对B：mgsin FfBF，在木板逐渐抬高的过程中，A所受的静摩擦力逐渐增大，B所受的静摩擦力先沿斜面向下逐渐减小后沿斜面向上逐渐增大，因此A所受静摩擦力先达到最大静摩擦力，A将先开始滑动，在A刚要滑动时，有mgsin Fmgcos ，分别将30、60代入可知，A正确【答案】A8.(2015山东菏泽市高三期末)如图所示，倾角为的粗糙斜劈放在粗糙水平面上，物体a放在斜面上，轻质细线一端固定在物体a上，另一端绕过光滑的滑轮固定在c点，滑轮2下悬挂物体b，系统处于静止状态。若将固定点c向右移动少许，而a与斜劈始终静止，则(不计滑轮重力)()A细线对物体a的拉力增大B斜劈对地面的压力减小C斜劈对物体a的摩擦力减小D地面对斜劈的摩擦力增大【解析】对滑轮和物体b受力分析，受重力和两个拉力，如图甲所示。根据平衡条件，有：mbg2Tcos ，解得：T。将固定点c向右移动少许，则增大，故拉力T增大，故A正确；对斜劈、物体a、物体b整体受力分析，受重力、支持力、细线的拉力和地面的静摩擦力，如图乙所示。 根据平衡条件，有NG总Tcos G总，N与角度无关，恒定不变，根据牛顿第三定律，压力也不变，故B错误；fTsin tan ，将固定点c向右移动少许，则增大，故摩擦力增大，故D正确；对物体a受力分析，受重力、支持力、拉力和静摩擦力，由于不知道拉力与重力沿斜面向下的分力的大小关系，故无法判断静摩擦力的方向，所以不能判断静摩擦力的变化情况，故C错误。【答案】AD9.如图所示，用绳OA、OB和OC吊着重物P处于静止状态，其中绳OA水平，绳OB与水平方向成角现用水平向右的力F缓慢地将重物P拉起，用FA和FB分别表示绳OA和绳OB的张力，则()AFA、FB、F均增大 BFA增大，FB不变，F增大CFA不变，FB减小，F增大 DFA增大，FB减小，F减小【解析】把OA、OB和OC三根绳和重物P看作一个整体，整体受到重力mg，A点的拉力FA，方向沿着OA绳水平向左，B点的拉力FB，方向沿着OB绳斜向右上方，水平向右的拉力F而处于平衡状态，有：FAFFBcos ，FBsin mg，因为不变，所以FB不变再以O点进行研究，O点受到OA绳的拉力，方向不变，沿着OA绳水平向左，OB绳的拉力，大小和方向都不变，OC绳的拉力，大小和方向都可以变化，O点处于平衡状态，因此这三个力构成一个封闭的矢量三角形(如图)，刚开始FC由竖直方向逆时针旋转到图中的虚线位置，因此FA和FC同时增大，又FAFFBcos ，FB不变，所以F增大，所以B正确【答案】B10.如图所示，带有光滑竖直杆的三角形斜劈固定在水平地面上，放置于斜劈上的光滑小球与套在竖直杆上的小滑块用轻绳连接，开始时轻绳与斜劈平行。现给小滑块施加一竖直向上的拉力，使小滑块沿杆缓慢上升，整个过程中小球始终未脱离斜劈，则有()A轻绳对小球的拉力逐渐增大B小球对斜劈的压力先减小后增大C竖直杆对小滑块的弹力先增大后减小D对小滑块施加的竖直向上的拉力逐渐增大答案AD解析设斜面倾角为，斜面对小球的支持力为FN1，绳对小球的拉力为FT，小球的重力大小为G1，小滑块的重力大小为G2，竖直杆对小滑块的弹力大小为FN2。由于小滑块沿杆缓慢上升，所以小球沿斜面缓慢向上运动，小球处于动态平衡状态，受到的合力为零，作小球受力矢量三角形如图甲所示，绳对小球的拉力FT逐渐增大，所以A正确；斜面对小球的弹力FN1逐渐减小，故小球对斜面的压力逐渐减小，B错误；将小球和小滑块看成一个整体，对其进行受力分析如图乙所示，则由力的平衡条件可得：FN2FN1sin，FG1G2FN1cos，因FN1逐渐减小，所以FN2逐渐减小，F逐渐增大，故C错误，D正确。11. (2015浙江宁波)如图所示，小方块代表一些相同质量的钩码，图中O为轻绳之间联接的结点，图中光滑的滑轮跨在轻绳上悬挂钩码，两装置处于静止状态，现将图中的B滑轮或图中的端点B沿虚线稍稍上移一些，则关于角变化说法正确的是()A图、图中角均增大B图、图中角均不变C图中增大、图中角不变化D图中不变、图中角变大【解析】图中，根据钩码个数，三个力正好构成直角三角形，若端点B沿虚线稍稍上移一些，三力大小不变，根据力的合成法则，可知，方向不变，即夹角不变；图中，因光滑的滑轮，且绳子中的张力相等，根据对称性可作下图，由图中可以看出原来位置为B，后来端点B沿虚线稍稍上移一些为B2，只有绳子与水平方向的夹角不变，才能保持绳子的总长不变，如果绳子与水平方向的夹角增大了，图中的B3，因为滑轮两端的力相等，由对称性可以看出此时对应的绳子的总长为A3B3，大于绳子的原长了，绳子的总长不变，故夹角增大不可能，从以上分析可以得出绳子与水平方向的夹角不变B选项正确【答案】B12.如图所示，一质量为M、倾角为的斜面体放在水平地面上，质量为m的小木块(可视为质点)放在斜面上，现一平行于斜面的、大小恒定的拉力F作用于小木块，拉力在斜面所在的平面内绕小木块旋转一周的过程中，斜面体和小木块始终保持静止状态下列说法中正确的是()A小木块受到斜面的最大静摩擦力为 B小木块受到斜面的最大静摩擦力为Fmgsin C斜面体受到地面的最大静摩擦力为FD斜面体受到地面的最大静摩擦力为Fcos 【解析】由于小木块始终保持静止，因此在斜面上，小木块沿斜面方向受到的拉力、静摩擦力及重力沿斜面向下的分力三者平衡，因此当F沿斜面向上时静摩擦力最大，为Fmgsin ，对小木块和斜面体两者的整体分析，当F水平时，斜面体受到地面的静摩擦力最大为F.【答案】BC13.(2018西安八校联考)如图所示，一根绳子一端固定于竖直墙上的A点，另一端绕过动滑轮P悬挂一重物B，其中绳子的PA段处于水平状态，另一根绳子一端与动滑轮P的轴相连，在绕过光滑的定滑轮Q后在其端点O施加一水平向左的外力F，使整个系统处于平衡状态，滑轮均为光滑、轻质、且均可看作质点，现拉动绳子的端点O使其向左缓慢移动一小段距离后达到新