逆矩阵的十种求法

华 北 水 利 水 电 大 学.矩阵可逆的判定及求解课 程 名 称： 线性代数 专 业 班 级： 工程力学 2012054 成 员 组 成：姓名：马原响 学号：201205401 姓名： 董迪 学号：201205426 姓名：霍帅磊 学号：201205429联系方式：13017683523 130176835892013年11月12日.矩阵可逆的判定及求解摘 要： 为了更便捷地解决求矩阵的逆,本文根据不同矩阵的不同特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法. 定义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法、解方程组法、多项式法、“和化积”法、Hamilton-Caley定理法、公式法等多种方法求逆矩阵,并对部分进行了简要论证关键词： 可逆矩阵的定义、齐次方程组、初等变分块矩阵求逆、分块矩阵求逆、分阶矩阵求逆、定义法、解方程组法。 Matrix reversible decision and the solutionAbstract: In order to more easily solve the inverse of a matrix, this matrix according to the different characteristics of the different introduced several simple inverse matrix method. the definition of law, with the matrix method, elementary transformation, block matrix method, solve equations by the use of Cramers rule to solve the determinant method, identical deformation method, the use of Hamiton_Caley Theorem, splicing and other methods to find new matrix inverse, and part of a brief demonstration.Keywords： block matrix； elementary transformation；with the matrix；Invertible matrix of the definition, homogeneous equations, elementary transformation into unit matrix, partitioned matrix inversion, decomposition of matrix inversion, recursive method引言： 矩阵是数学中一个极其重要的应用广泛的概念，它是代数，特别是现性代数的一个主要研究对象。其中逆矩阵又是矩阵理论中一个非常重要的概念，逆矩阵的可逆性及其求法自然也就成为要研究的主要内容之一。本文主要是对课本中关于可逆矩阵判定方法的总结可逆矩阵的定义：设是阶矩阵，如果存在阶矩阵，使得n，则称是可逆矩阵（或称为非奇异矩阵），是的逆矩阵。从这个定义可知，单位矩阵E的可逆矩阵就是其自身矩阵可逆性的判定：方法1 定义法：设A是数域P上的一个n阶方阵，如果存在P上的n阶方阵B，使得AB = BA = E，则称A是可逆的，又称B为A的逆矩阵.当矩阵A可逆时，逆矩阵由A惟一确定，记为A-1. 例： 设A=abcd,ad-bc;求A-1. 解: 因为A=ad-bc=10 所以A可逆. 设A的逆矩阵为B=xyzw,由AB=BA=E,得 ax+bz=xa+yc=1ay=bw=xb+dy=0cx+dz=za+wc=0cy+dw=zb+wd=1,解得：x=dy=-bz=-cw=a 所以A-1=B=d-b-ca 注释：定义法一般适用于求二级，三级可逆方阵的逆矩阵，级数高的可逆矩阵不采取这种方法。因为矩阵的级数越大，方程组所含的方程越多，解方程就越困难，由此带来的计算量一般是非常大的。方法 2 伴随矩阵法：A-1 = A*.定理n阶矩阵A = aij为可逆的充分必要条件是A非奇异.且其中Aij是|A|中元素aij的代数余子式.矩阵称为矩阵A的伴随矩阵，记作A*，于是有A-1 = A*.注 对于阶数较低（一般不超过3阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵.注意A* = （Aji）nn元素的位置及符号.特别对于2阶方阵，其 伴随矩阵,即伴随矩阵具有“主对角元素互 换，次对角元素变号”的规律. 对于分块矩阵不能按上述规律求伴随矩阵.例2：已知，求A-1.解 | A | = 2 0 A可逆.由已知得 A-1 = A* = 方法三 矩阵分块求逆法；由于计算和讨论问题的需要，在处理大型矩阵时，常常采用对矩阵分块的方法。因为把矩阵分块，可以事型号大的矩阵的运算化为型号小的矩阵的运算，即只需要把字块当做元素来进行运算，并按照通常矩阵的加减法、数乘、乘法等法则来运算，这种运算上的抽象性及究竟如何对矩阵进行分块等问题，就使得分块矩阵形成了学习上的一个难点。特别注意的是，在做分块的乘法时，应使左矩阵上列的分块方式与右矩阵上的分块方式一致。对于某些特殊矩阵，利用分块矩阵求其逆矩阵，有时是很方便的，比用其他方法要快，要准确。若遇到以下形式矩阵，我们可以采取以下方法。（1） 若A,B均为可逆矩阵时，则 AOOB-1=A-1OOB-1=OB-1A-1O,OABO-1= OB-1A-1O(2) 一般地，若方阵A1，A2，.,Am均可逆，则有 A1A2Am=A1-1A2-1Am-1例：求下列矩阵的逆矩阵，已知W=1001000304123425 解：将矩阵W分成四块，设 A=100100001 ,B=342 , C=(3 4 2) , D=(5) , 于是 （D-CA-1B）=(-24)即 （D-CA-1B）=(-124) A-1B=B=342 , CA-1=C=(3 4 2) , 利用公式得 W-1=12415-12-128-6-8-63-84202342-1方法四 初等变化法: 因为当n级方阵A可逆时，A可由初等行变换化成单位矩阵，即PnPn-1P1A=E于是PnPn-1P1AE=A-1，这里PnPn-1P1A都是初等矩阵，可见A-1=PnPn-1P1A 即有【A,E】初等行列变换（PnPn-1P1A，PnPn-1P1E）=(E,A) 根据上面的分析可得到，令B=A-1， 则 AE初等列变换AQn.Q1EQn.Q1=EB例： 设X=2513，求X-1. 解： 对下列矩阵始终实行初等行变换： （X）=25 13 10011001 3-5 -12故X-1=3-5-12注： 注意用初等行变换法求A-1时，对（XE）只能实施行一系列初等行变换，而不能用初等列变换。同理对AE只能实施列一系列初等列变换，而不能用初等行变换。方法五 利用解线性方程组来求逆矩阵： 令n阶可逆矩阵A = (aij)，A的行向量分别为1 , 2 , , n , 其中i = (i1 ,i2 , ,in),(i =1 , 2 n)。由定理1 得:i=aijj(i = 1 , 2 , , n) .解以1 , 2 , , n 为未知量的方程组,由于系数行列式D = | A| 0 (因为A 可逆),所以, 由克莱姆法则可得唯一解: j=Dj/D= bj11 + bj22 + + bjnn(j = 1 , 2 , , n) .其中Dj是把行列式D的第j列的元素换以方程组的常数项1 ,2,n而得到的n阶行列式.由定理2可得: BA = I ( I 为单位矩阵),从而有A- 1 = B.其中B = (bij).下面举例说明这种方法例：求矩阵A=的逆矩阵。解： 设 解方程组AX=B即 解得然后把列，分别用 代入得到矩阵的第行，分别用 即这种方法特别适用于线性方程组AX=B的解容易求解的情形方法六 恒等变形法求逆矩阵：有些计算命题表面上与求逆矩阵无关,但实质上只有求出矩阵的逆矩阵才能算出来,而求逆矩阵须对所给的矩阵等式恒等变形,且常变形为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式.例：已知，试求并证明,其中.解 由 得到故,而A又为正交矩阵, 从而方法七 多项式法；我们知道，矩阵A可逆的充分条件是有一常数项不为零的多项式f（x） ,满足f（A）=0 ,用这个知识点也可以求出逆矩阵。例： 已知矩阵A=2-1-33 ,且A满足多项式f（x）=X2-5X+3E=0试证明A是可逆矩阵，并求其可逆矩阵。 证明: 由A2-5A+3E=O ,得 A(-13A+53E)=E 从而可知A为可逆矩阵，并且 =132-1-33+531001 =113123方法八 用Hamilton-Caley定理求逆矩阵：Hamilton-Caley定理 :设A是数域P上的n阶矩阵 为A的特征多项式，则： 于是 因 此得 此式给出了的多项式计算方法。例 已知，求。解：矩阵A的特征多项式为： 因，所以矩阵A可逆，由式知 =方法九 “和化积”法；有时遇到这样的问题：要求判断方阵之和A+B的可逆性并求逆矩阵，此时可将A+B直接化为，由此有A+B可逆，且，或将方阵之和A+B表为若干个已知的可逆阵之积，再有定理2知A+B可逆，并可得出其逆矩阵。例 证明：若，则是可逆阵，并求。证明： E-A是可逆矩阵且方法十 公式法；利用下述诸公式，能够迅速准确地求出逆矩阵。（1） 二阶矩阵求逆公式（两周一除）： 若A=abcd ，则A-1=1Ad-b-ca （2）初等矩阵求逆公式：Eij-1（k）=Eij-1（-k）（3）对角线及其上方元素全为1的上三角矩阵的逆矩阵 A=110111110001的逆矩阵为： A-1=1-1001-100000000001101 （4）正交矩阵的求逆公式： 若A为正交矩阵，则A-1=AT （5）其他常用求逆公式： (AB)-1=A-1B-1 (AT)-1=(A-1)T (A*)-1=(A-1)*=AA-1 A1,A2,A3,.An可逆，则（. A1,A2,A3,.An）-1=A-1A2-1A1-1例： 已知:A=100100001，B=110111001，求（AB）-1。 解： 由于A是初等矩阵，由公式得：A-1=A 而B为元素都为1的上三角矩阵，由公式得： B-1=1-1011-1001，再由公式得：(AB)-1=1-1011-1001100001011=100-1-11010参考文献：1 杜汉玲. 求逆矩阵的方法与解析J. 高等函授学报(自然科学版), 2004, (04) . 2 任宪林. 求逆矩阵的一个新方法J. 职大学报(自然科学版), 2004, (02) . 3 张玉成. 求逆矩阵的另一种方法J. 深圳教育学院学报(综合版), 2002, (01) . 4 王莲花,张香伟,李战国,王建平. 求逆矩阵方法的进一步研究J. 河南教育学院学报(自然科学版), 2002, (03) . 5 王建锋. 求逆矩阵的快速方法J. 大学数学, 2004, (01) . 6 李桂荣. 关于求逆矩阵方法的进一步探讨J. 德州