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二次型及其标准形 1. 二次型的定义 定义1 个变的二次齐次多项式 (1) 称为元二次型.当系数取实数时,称为实二次型, 取复数时,称为复二次型. 1 所以是三元二次型。 将(1)式展开有: 令则二次型可以用矩阵乘积形式表示为: 其中是对称矩阵,称为二次型的矩阵,的轶叫做二次型的秩. 设给一可迸线性变换: 证明,则上面变换记作,边可逆矩阵.这时二次型 由于为对称矩阵,故仍为二次型,而变换前后两二次型的矩阵有下面所定义的合同关系: 定义2 对于阶矩阵和,如果存在阶可逆矩阵,使得,就称合同于,证作，对 进运算,称为对进合同变换. 可验证，矩阵间的合同关系是具有反身性，对称性和传递性。 2. 化二次型为标准形 要使二次型经可逆线性变换化为标准形,就是要使 也就是要使成为对角陈.因此,化二次型为标准形就是对于对称矩阵A,寻找可逆矩阵,使与合同的矩 阵为对角阵. 下面介绍二种化二次型为标准形的方法. （1）正交变换法 对于任一个阶实对称矩阵，总有正交矩阵，使得对角阵。由于所以有 故有下面的定： 定1 对于任一个元二次型 总有正次变换（为n阶正交矩阵），使化为标准形： 其中是实对称矩阵的特征值，的个向是的对应于特征值的 相互正交的单位特征向。 2 用正交变换法化二次型为标准形. 解：的矩阵为，A的特征多项式: 故的特征值 对于解方程组,即 ， 得基础解系 ，单位化即得 对于，解方程组，即 得基础解系 ，这两个向恰好正交，故只须单位化，得 ，得变换矩阵 将原二次型化成标准形： 。 （2）配方法 3 化二次型成标准形,并求所用的变换矩阵 解:由于中含变x1的平方项,故把含的项归并起来,配方可得 令，即就可把化成标准形： 所以用变换矩阵为 4 化二次型成标准形,并求所用的变换矩阵 解:在中含平方项,由于含有乘积项,故令 代入可得 再配方得 令，即即有 , 所用变换矩阵为 一般地,任何二次型都可用上面两的方法找到可逆变换,把二次型化成标准形. 3. 正定二次型 定2 设有实二次型,它的秩为,有两实的可逆变换 及 使 及 则中正数的个数与中正数的个数相等.这个定下称为惯性定. 定义2 设有实二次型, ,如果对任何,都有.(显然),则称为正定二次 型,并称对称矩阵是正定的,如果对任何都有,则称为负定二次型,并称对称矩阵是负定的. 定3 实二次型为正定的充分必要条件是:它的标准形的个系数全为正. 证: 设可逆变换 先证充分性.设任给,则.故。 再证必要性.用反证法,假设有,则当 (基本单位向)时,显然,这与为正 定相矛盾.这就证明. 推论:对称矩阵为正定的充分必要条件是:的特征值全为正. 定4 对称矩阵为正定的充分必要条件是: 的各阶主子式都为正,即 对称矩阵为负定的充分必要条件是:奇数阶主子式为负
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