第二章材料力学2

铆钉连接,销轴连接,2-3剪切与挤压,一、剪切与挤压的概念,工程实际中，产生剪切与挤压的构件往往是机械或结构中的联接件。如平键、螺栓、铆钉、销钉等。,剪切的受力特点是：作用在构件两侧面上的外力大小相等、方向相反、作用线相距很近。,变形特点是：沿外力作用线之间的截面发生相对错动。,剪切变形：截面间发生相对错动的变形称为剪切变形，产生相对错动的截面称为剪切面。剪切面平行于外力的作用线，且在两个反向外力的作用线之间。,挤压：联接件和被联接件因相互接触而产生局部受压现象称为挤压。,挤压面：联接件与被联接件的相互接触面称为挤压面。,剪力常用符号表示,实用计算法：假设切应力均匀地分布在剪切面上，设剪切面的面积为A,，,二、剪切变形的实用计算和剪切强度条件,则切应力的计算公式为,要保证构件工作时不发生剪切破坏，则其产生的最大切应力不得超过材料的许用切应力，因此剪切的强度条件为：,校核强度、设计截面尺寸、确定许可载荷,三、挤压的实用计算和挤压强度条件,实用计算:假设挤压应力在挤压面上均匀分布,有效挤压面面积如下确定：若接触面为平面，则有效挤压面面积为实际接触面面积；若接触面为曲面，则有效挤压面面积为曲面在挤压方向上的正投影面面积。,挤压强度条件,冲头钢板冲模,2-4圆轴扭转,一、圆轴扭转的概念,杆件扭转变形的受力特点：杆件受到作用面与轴线垂直的外力偶作用。变形特点：杆件的各横截面绕轴线发生相对转动。,低碳钢试件：沿横截面断开。,铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。,材料抗拉能力差，构件沿45斜截面因拉应力而破坏（脆性材料）。,材料抗剪切能力差，构件沿横截面因切应力而发生破坏(塑性材料）；,二、扭矩和扭矩图,1外力偶矩的计算,在工程实际中，通常外力偶矩不是直接给出，而是通过轴所传递的功率P和转速n计算得到的。已知轴所传递的功率P和轴的转速n，则外力偶矩。,2扭矩,对扭矩正负号作如下规定，即右手螺旋法则：四个手指的转向与,转向相同，大拇指与截面外法线方向相同规定为正，反之为负。,3扭矩图,若作用于轴上的外力偶多于两个，此时圆轴各横截面上的扭矩是不同的，为了分析最大扭矩，通常把表示扭矩随截面位置变化规律的图形称为扭矩图。,477.5Nm,955Nm,637Nm,MT,（1）求各轮上的外力偶矩,（2）分段求扭矩,（3）作扭矩图,画扭矩图步骤：,例2-7-1传动轴如图所示，转速n=500转/分钟，主动轮B输入功率NB=10KW，A、C为从动轮，输出功率分别为NA=4KW，NC=6KW，试计算该轴的扭矩。,A,B,C,先计算外力偶矩,计算扭矩：,AB段,mA,Mn1设为正的,Mn1,BC段,Mn2设为正的,mc,Mn2,477.5Nm,955Nm,计算外力偶矩,作扭矩图,Tnmax=955Nm,637Nm,例2-7-2已知A轮输入功率为65kW，B、C、D轮输出功率分别为15、30、20kW，轴的转速为300r/min，画出该轴扭矩图。,例2-7-3一传动轴，已知d=45cm,n=300r/min。主动轮输入功率NA=367kW,从动轮B、C、D输出的功率NB=147kw,NC=ND=11kW。轴的材料为45号钢，G=80103MPa，=40MPa,=2/m，试校核轴的强度和刚度。,(1)计算外力偶矩,(2)画扭矩图,求最大扭矩用截面法求得AB.AC.CD各段的扭矩分别为:,(3)强度校核,满足强度条件.,(4)刚度校核:,故满足刚度条件,1圆轴扭转时横截面上的应力,将一薄壁圆筒表面用纵向平行线和圆周线划分,两端施以大小相等方向相反一对力偶矩,观察到：,#圆周线大小形状不变，各圆周线间距离不变。,#纵向平行线仍然保持为直线且相互平行，只是倾斜了一个角度。,三、圆轴扭转时的应力及强度计算,由试验可得如下结论：圆轴扭转变形后各个横截面仍为平面，其大小、形状以及相邻两截面之间的距离保持不变，故横截面上没有正应力；由于相邻横截面发生相对转动，故横截面上必有垂直于半径方向呈线性分布的切应力存在，且与扭矩的转向一致。最大切应力发生在圆轴横截面边缘上，而圆心处的切应力为零，实心和空心圆轴横截面上的切应力分布如图所示。,2圆轴扭转时横截面上的切应力计算,结果说明横截面上没有正应力,采用截面法将圆筒截开，横截面上有扭矩存在，说明横截面上分布有与截面平行的应力，即存在剪应力。,根据变形规律、变形与应力间的物理关系、静力平衡关系，可推导出圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式：,是一个只决定于横截面的形状和大小的几何量，称为横截面对形心的极惯性矩。,距离圆心为处的切应力，MPa,横截面上的扭矩，Nmm；,所求应力点到圆心的距离，mm；,截面对圆心的极惯性矩，mm4。,时，切应力为最大值,显然，当,令,，则上式可改写成,令,式中：,抗扭截面模量，,或,3圆形截面的极惯性矩和抗扭截面模量,圆形截面的极惯性矩是只与截面形状和尺寸有关的几何量，圆形截面的抗扭截面模量是圆轴抵抗扭转破坏能力的几何参数。,其极惯性矩和抗扭截面模量分别为,内径为d,外径为D的空心圆形截面的极惯性矩和抗扭截面模量分别为,4圆轴扭转时的强度,强度条件解决三类问题：校核强度、设计截面尺寸、确定许用荷载。,例某汽车主传动轴钢管外径D=76mm，壁厚t=2.5mm，传递扭矩T=1.98kNm，t=100MPa，试校核轴的强度。,解：计算截面参数：,由强度条件：,故轴的强度满足要求。,同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，故空心轴较实心轴合理。,由上式解出：d=46.9mm。,空心轴与实心轴的截面面积比(重量比)为：,四、圆轴扭转时的变形及刚度计算,1扭转时的变形,扭转角：圆轴扭转时两个横截面间绕轴线转过的相对转角，称相对扭转角，简称扭转角,扭转角,与扭矩、截面尺寸及材料性能有如下关系：,为了消除轴长度,对扭转角的影响，工程中常采用单位长度扭转角,来度量扭转变形，即,（/m）,与,成反比，它反映截面抵抗扭转变形的能力，所以称,为截面的抗扭刚度。,2刚度条件,构件除应满足强度条件外，还需满足刚度要求。为了避免刚度不够而影响正常使用，工程上对受扭构件的最大单位长度扭转角进行限制，即刚度条件为,刚度和强度条件一样可解决三类刚度问题。,2-5平面弯曲,一、平面弯曲的概念1弯曲的概念,变形特点：杆件的轴线由原来的直线变成曲线，这种变形形式称为弯曲变形。工程中，常把以弯曲变形为主的杆件习惯上称为梁。如果梁的轴线是直线则称为直梁。,如果梁的轴线弯曲后所在平面与外力所在平面相重合，则称这种弯曲为平面弯曲,图2-30梁常见的对称截面形状,【例2-10】一悬臂梁ABC，如图所示，试作悬臂梁ABC的弯矩图。解：（1）求支座反力，对悬臂梁，可不必求支座反力。（2）分段列弯矩方程。根据梁的受力情况，AB段和BC段的弯矩方程表达式不同。假设梁上任一截面离左端点的距离为x,则AB和BC段的弯矩方程为：（3）绘制弯矩图。由弯矩方程知，是关于的二次函数，其图形为开口向下的抛物线，此抛物线没有顶点；是关于的一次函数，其图形为直线。（4）确定最大弯矩的数值。,（3）载荷与弯矩图之间的关系梁上载荷与弯矩图之间有如下规律：梁上没有载荷作用的区段上，弯矩图为一斜直线。梁上有均布载荷作用的区段上，弯矩图为一抛物线，抛物线的开口方向与均布载荷的方向一致，即均布载荷向上，则抛物线开口向上；反之，则抛物线开口向下。有集中力作用的截面处，弯矩图会发生转折。有集中力偶作用的截面处，弯矩图将发生突变，突变量的大小等于集中力偶矩的大小；突变的方向与集中力偶矩的转向有关，若外力偶矩为逆时针转向，则从上向下突变；反之，则从下向上突变。【例2-11】一外伸梁受力如图，试绘制其弯矩图。解（1）求反力取梁为研究对象，受力分析如图(b)，列平衡方程解得,计算控制截面的弯矩确定抛物线顶点所在的截面位置：假设离左端点距离为x处剪力为零，则1.5m此截面的弯矩31.521.50.752.25kNm（取左段）342424kNm6kNm224kNm,三、梁弯曲时横截面上的正应力1纯弯曲的概念2梁纯弯曲时横截面上的正应力（1）实验观察到的现象及假设(2)中性层与中性轴（3）纯弯曲时横截面上的正应力分布规律结论：梁纯弯曲变形时，横截面上只存在正应力；不存在切应力。正应力大小与该点到中性轴的距离成正比，凸边产生拉应力，凹边产生压应力，中性层处正应力为零，上下边缘处的正应力最大，任意一条与中性轴平行的线上正应力都相等。在横截面内正应力沿截面宽度方向均匀分布，沿高度方向线性分布。应力的分布规律如图,（3）纯弯曲时横截面上的正应力计算公式,该处的正应力最大,当时,令,说明：（1）导出公式时用了矩形截面，但未涉及任何矩形的几何特性，因此，公式具有普遍性。（2）横截面上任一点处的正应力是拉应力还是压应力可由此截面上弯矩的转向直接判定，不需用y坐标的正负来判定。,3横力弯曲（剪切弯曲）时的正应力,当梁的跨度,与截面高度h之比,5时，切应力对正应力的影,5，因此正应力计算也适用于横力弯曲（剪切弯曲）。,响很小（不超过1），故可以忽略不计。一般工程中的梁,【例2-12】如图矩形截面简支梁，横截面bh120mm180mm,跨度3m，均布载荷q35kN/m。求：（1）截面竖放如图（b）时，危险截面上a、b两点的正应力。（2）截面横放如图（d）时，危险截面上的最大应力。,解(1)作弯矩图,（2）竖放时，z轴为中性轴,（3）横放时，,轴为中性轴，则,由以上可知:竖放时横截面上的小于横放时横截面上的,从强度方面考虑,此梁竖放比横放合理.,四、梁弯曲时的强度计算,强度条件为：,【例2-13】某单梁桥式吊车如图，跨度10m，起重量（包括电动葫芦自重）为G30kN，梁由No.28a工字钢制成，材料的许用应力160MPa。试校核该梁的正应力强度。解（1）画计算简图将吊车横梁简化为简支梁，梁自重为均布载荷q，由型钢表查得：No.28a工字钢得理论重量q43.4kg/m0.4253kN/m,吊车重G为集中力如图（b）。（2）画弯矩图由梁的自重和吊车重引起的弯矩为图（c），由图知中间截面处的弯矩最大，其值为,（3）校核弯曲正应力强度由型钢表查得：No.28a工字钢，故此梁的强度足够。,五、梁的变形及弯曲刚度简介,挠曲线：,挠度,转角,工程上计算梁变形常用查表法或叠加法,梁的刚度条件,2-6强度理论与组合变形简介,一、应力状态1点的应力状态的概念点的应力状态就是指过一点各个方位截面上的应力情况。2单元体的概念为了表示一点应力状态,一般可以围绕该点取出一个边长无限小的正六面体，这个微小的正六面体称为该点的单元体。3主应力、主平面、主单元体切应力为零的截面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。三个主应力值分别用、表示，并按代数值的大小来排列，即。所以一点的应力状态，通常也可以用三个主应力来表示，这种特殊单元体称为主单元体。4、单向应力状态，二向应力状态，三向应力状态,二、强度理论1强度理论的概念材料失效的形式主要有两类：一类是流动破坏（又称为屈服破坏或塑性破坏），另一类就是断裂破坏（又称脆性破坏）。2常用的强度理论（1）最大拉应力理论（第一强度理论）这一理论认为最大拉应力是引起断裂的主要因素。强度条件：（2）最大伸长线应变理论（第二强度理论）这一理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素。强度条件：（）（3）最大切应力理论（第三强度理论）这一理论认为最大切应力是引起屈服的主要因素。强度条件：（4）形状改变比能理论（第四强度理论）强度条件：,（5）强度条件的统一表达式:,三、组合变形,1组合变形的概念,同时产生两种或两种以上的基本变形，这种变形称为组合变形。,2叠加原理,分别计算每一种基本变形各自引起的应力，然后求出这些应力的总和3组合变形强度计算的一般步骤（1）外力分析（2）内力分析（3）应力分析（4）强度计算,四、拉伸（压缩）与弯曲组合变形的强度计算,其强度条件为：,=,五、弯曲与扭转组合变形的强度计算,对于圆轴，由于,按第三和第四强度理论建立