2012届高考数学第二轮备考立体几何中的空间角问题复习

精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创1/52012届高考数学第二轮备考立体几何中的空间角问题复习题型五立体几何中的空间角问题推荐时间30分钟1如图所示，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点1求证AF平面BCE；2求证平面BCE平面CDE；3求直线BF和平面BCE所成角的正弦值22011湖南如图，在圆锥PO中，已知PO2，O的直径AB2，C是的中点，D为AC的中点1证明平面POD平面PAC；2求二面角BPAC的余弦值答案11证明设ADDE2AB2A，以A为原点，AC为X轴，AB为Z轴，建立如图所示的直角坐标系AXYZ，则A0,0,0，C2A,0,0，B0,0，A，DA，3A,0，EA，3A,2A因为F为CD的中点，精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创2/5所以F32A，32A，0AF32A，32A，0，BEA，3A，A，BC2A,0，A因为AF12BEBC，AF平面BCE，所以AF平面BCE2证明因为AF32A，32A，0，CDA，3A,0，ED0,0，2A，故AFCD0，AFED0，所以AFCD，AFED所以AF平面CDE又AF平面BCE，所以平面BCE平面CDE3解设平面BCE的法向量为NX，Y，Z由NBE0，NBC0，可得X3YZ0,2XZ0，取N1，3，2又BF32A，32A，A，设BF和平面BCE所成的角为，则SIN|BFN|BF|N|2A2A2224所以直线BF和平面BCE所成角的正弦值为242方法一1证明如图，连结OC，因为OAOC，D是AC的中点，所以ACOD又PO底面O，AC底面O，精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创3/5所以ACPO因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC平面POD，而AC平面PAC，所以平面POD平面PAC2解在平面POD中，过O作OHPD于H，由1知，平面POD平面PAC，所以OH平面PAC又PA平面PAC，所以PAOH在平面PAO中，过O作OGPA于G，连结HG，则有PA平面OGH，从而PAHG，故OGH为二面角BPAC的平面角在RTODA中，ODOASIN4522在RTPOD中，OHPOODPO2OD2222212105在RTPOA中，OGPOOAPO2OA2212163在RTOHG中，SINOGHOHOG10563155所以COSOGH1SIN2OGH11525105故二面角BPAC的余弦值为105方法二1证明如图，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为X轴，Y轴，Z轴建立空间直角坐标系，则精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创4/5O0,0,0，A1,0,0，B1,0,0，C0,1,0，P0,0，2，D12，12，0设N1X1，Y1，Z1是平面POD的一个法向量，则由N1OD0，NOP0，得12X112Y10，2Z10所以Z10，X1Y1取Y11，得N11,1,0设N2X2，Y2，Z2是平面PAC的一个法向量，则由N2PA0，N2PC0，得X22Z20，Y22Z20所以X22Z2，Y22Z2取Z21，得N22，2，1因为N1N21,1,02，2，10，所以N1N2从而平面POD平面PAC2解因为Y轴平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为N30,1,0由1知，平面PAC的一个法向量为N22，2，1设向量N2和N3的夹角为，则COSN2N3|N2|N3