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第三章,微积分学的创始人:,德国数学家Leibniz,导数,描述函数变化快慢,描述函数变化程度,都是描述物质运动的工具,(从微观上研究函数),导数与微分,英国数学家Newton,导数思想最早有法国数学家Ferma在研究极值问题时提出,基本内容：,第一节：导数的概念第二节：求导法则第三节：导数基本公式与高阶导数第四节：函数的微分第五节：导数在经济学中的简单应用,第一节,导数的概念,教学重点：导数定义,教学难点：对定义的理解及应用,教学方法：多媒体结合板书,教学目的：,会用定义求导数,掌握导数与左、右导数的关系,掌握导数与连续的关系,理解导数定义、,一、引例,1.变速直线运动的瞬时速度,设描述质点运动位置的函数为,自由落体运动,则到的平均速度为,而在时刻的瞬时速度为,割线的斜率：,切线的斜率：,当时,2.曲线的切线斜率,两个问题的共性:,瞬时速度,切线斜率,所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.,类似问题还有:,边际利润,是成本增量与产量增量之比的极限,是利润增量与销量增量之比的极限,边际成本,二、导数定义,定义3.1：,设函数在的邻域内有定义,如果,存在，称函数在点可导.,并称此极限值为函数在点的导数.,记作：,即：,如果上述极限不存在，称函数在不可导.,若函数在开区间I内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.,就称函数在,记作:,即：,（导函数公式）,内可导.,讨论导数另一定义形式,例1求函数y=x2在点x=3处的导数.,解,定义3.2：左导数和右导数.,左导数：,右导数：,函数在可导的充要条件是既是左可导又是右可导.,例3,求,的导函数.,解,例4,求,的导函数.,解,例5,求,的导函数.,解,特别地,例6,求,的导函数.,解,注,求导函数三步曲:,总结：,(1)求增量,(2)算比值,(3)算极限,三、可导与连续的关系,所以,由,可得,如果函数y=f(x)在点,处可导,则它在点x0处一定连续.,因为函数y=f(x)在点x0处可导,故连续.,定理3.1,证,例7：证明,证明：,所以，在连续.,所以在不可导.,1.可导必连续,2.连续不一定可导,3.不连续一定不可导,可导与连续关系,四、导数的几何意义,切线方程为:,曲线,在点,处的切线斜率.,例8求曲线y=x2在点(3,9)处的切线方程.,法线方程为：,和法线方程.,切线方程为：,法线方程为：,例9：设在点可导，求下列极限.,内容小结,(1)导数的实质增量比的极限；,(2),(3)导数的几何意义：切线斜率,(4)
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