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第二章导热基本定律,2-1导热基本定律,一、温度场（Temperaturefield）1、概念温度场是指在各个时刻物体内各点温度分布的总称。由傅立叶定律知，物体的温度分布是坐标和时间的函数：,其中为空间坐标，为时间坐标。,2、温度场分类1）稳态温度场（定常温度场）（Steady-stateconduction）是指在稳态条件下物体各点的温度分布不随时间的改变而变化的温度场称稳态温度场，其表达式：,2）非稳态温度场（非定常温度场）（Transientconduction）是指在变动工作条件下，物体中各点的温度分布随时间而变化的温度场称非稳态温度场，其表达式：若物体温度仅一个方向有变化，这种情况下的温度场称一维温度场。,等温面与等温线,等温线：用一个平面与各等温面相交，在这个平面上得到一个等温线簇,等温面：同一时刻、温度场中所有温度相同的点连接起来所构成的面,等温面与等温线的特点：,(1)温度不同的等温面或等温线彼此不能相交,(2)在连续的温度场中，等温面或等温线不会中断，它们或者是物体中完全封闭的曲面（曲线），或者就终止与物体的边界上,物体的温度场通常用等温面或等温线表示,等温线图的物理意义：若每条等温线间的温度间隔相等时，等温线的疏密可反映出不同区域导热热流密度的大小。如图所示是用等温线图表示温度场的实例。,等温面上没有温差，不会有热量传递,温度梯度(Temperaturegradient）,不同的等温面之间，有温差，有热量传递,温度梯度：沿等温面法线方向上的温度增量与法向距离比值的极限，gradT,直角坐标系：（Cartesiancoordinates）,注：温度梯度是向量；正向朝着温度增加的方向,2、温度梯度与热流密度矢量的关系如图2-2（a）所示，表示了微元面积dA附近的温度分布及垂直于该微元面积的热流密度矢量的关系。1）热流线定义：热流线是一组与等温线处处垂直的曲线，通过平面上任一点的热流线与该点的热流密度矢量相切。,2）热流密度矢量与热流线的关系：在整个物体中，热流密度矢量的走向可用热流线表示。如图2-2（b）所示。,热流密度矢量,直角坐标系中：,热流密度：单位时间、单位面积上所传递的热量；,热流密度矢量：等温面上某点，以通过该点处最大热流密度的方向为方向、数值上正好等于沿该方向的热流密度,不同方向上的热流密度的大小不同,（Heatflux）,二、导热基本定律,1、导热基本定律（傅立叶定律）1）定义：在导热现象中，单位时间内通过给定截面所传递的热量，正比例于垂直于该截面方向上的温度变化率，而热量传递的方向与温度升高的方向相反，即,2）数学表达式：,（负号表示热量传递方向与温度升高方向相反）,3）傅里叶定律用热流密度表示：,其中热流密度(单位时间内通过单位面积的热流量)物体温度沿x轴方向的变化率,当物体的温度是三个坐标的函数时，其形式为:,是空间某点的温度梯度；,是通过该点等温线上的法向单位矢量，指向温度升高的方向；,是该处的热流密度矢量。,式中：,直角坐标系中：,热导率（导热系数）,注：傅里叶定律只适用于各向同性材料各向同性材料：热导率在各个方向是相同的,（Thermalconductivity）,三、热导率（Thermalconductivity）,热导率的数值：就是物体中单位温度梯度、单位时间、通过单位面积的导热量,物质的重要热物性参数,影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、湿度、压力、密度等,热导率的数值表征物质导热能力大小。实验测定,不同物质热导率的差异：构造差别、导热机理不同,1、气体的热导率,气体的导热：由于分子的热运动和相互碰撞时发生的能量传递,气体分子运动理论：常温常压下气体热导率可表示为：,除非压力很低或很高，在2.67*10-3MPa2.0*103MPa范围内，气体的热导率基本不随压力变化,：气体分子运动的均方根速度,气体的温度升高时：气体分子运动速度和定容比热随T升高而增大。气体的热导率随温度升高而增大,：气体分子在两次碰撞间平均自由行程,：气体的密度；,：气体的定容比热,气体的压力升高时：气体的密度增大、平均自由行程减小、而两者的乘积保持不变。,混合气体热导率不能用部分求和的方法求；只能靠实验测定,分子质量小的气体（H2、He）热导率较大分子运动速度高,氟利昂12,2、液体的热导率,液体的导热：主要依靠晶格的振动,晶格：理想的晶体中分子在无限大空间里排列成周期性点阵，即所谓晶格,大多数液体（分子量M不变）：,水和甘油等强缔合液体，分子量变化，并随温度而变化。在不同温度下，热导率随温度的变化规律不一样,氟利昂12,机油,甘油,氨,3、固体的热导率,纯金属的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动主要依靠前者,金属导热与导电机理一致；良导电体为良导热体：,(1)金属的热导率：,晶格振动的加强干扰自由电子运动,：电子平均速度/平均声速,C：电子/声子比热容电子/声子平均自由程,高温陶瓷,熔融石英,铂,钨,铝合金2024,合金：金属中掺入任何杂质将破坏晶格的完整性，干扰自由电子的运动,金属的加工过程也会造成晶格的缺陷,合金的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动；主要依靠后者,温度升高、晶格振动加强、导热增强,如常温下：,黄铜：70%Cu,30%Zn,非金属的导热：依靠晶格的振动传递热量；比较小,建筑隔热保温材料：,(2)非金属的热导率：,大多数建筑材料和绝热材料具有多孔或纤维结构,多孔材料的热导率与密度和湿度有关,保温材料：国家标准规定，温度低于350度时热导率小于0.12W/(mK)的材料（绝热材料）-GB427-92此标准随着年代发展也逐渐改变。,4、各向异性材料指有些材料（木材，石墨）各向结构不同，各方向上的也有较大差别，这些材料称各向异性材料。此类材料必须注明方向。相反，称各向同性材料。,各向异性材料中：,2-2导热微分方程式及定解条件,由前可知：（1）对于一维导热问题，根据傅立叶定律积分，可获得用两侧温差表示的导热量。（2）对于多维导热问题，首先获得温度场的分布函数，然后根据傅立叶定律求得空间各点的热流密度矢量。,一、导热微分方程1、定义：根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立导热物体中的温度场应满足的数学表达式，称为导热微分方程。,2、导热微分方程的数学表达式导热微分方程的推导方法，假定导热物体是各向同性的。,1）针对笛卡儿坐标系中微元平行六面体由前可知，空间任一点的热流密度矢量可以分解为三个坐标方向的矢量。同理，通过空间任一点任一方向的热流量也可分解为x、y、z坐标方向的分热流量，如图2-4所示。,通过x=x、y=y、z=z，三个微元表面而导入微元体的热流量：qx、qy、qz的计算。根据傅立叶定律得,(a),通过x=x+dx、y=y+dy、z=z+dz三个微元表面而导出微元体的热流量qx+dx、qy+dy、qz+dz的计算。根据泰勒级数展开：,(b),对于任一微元体根据能量守恒定律，在任一时间间隔内有以下热平衡关系：,微元体热力学能的增量,微元体内热源的生成热,其中微元体的密度、比热容、单位时间内单位体积内热源的生成热及时间。,导入微元体的总热流量导出微元体的总热流量,将以上各式代入热平衡关系式，并整理得：,这是笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方程的一般表达式。其物理意义：反映了物体的温度随时间和空间的变化关系。,1）对上式化简：,导热系数为常数,式中，称为热扩散系数,（Thermaldiffusivity）,热扩散系数反映了导热过程中材料的导热能力（k）与沿途物质储热能力（c）之间的关系,值大，即k值大或c值小，说明物体的某一部分一旦获得热量，该热量能在整个物体中很快扩散,热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度趋向于均匀一致的能力,在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物体内部各处的温度差别越小。,反应导热过程动态特性，研究非稳态导热重要物理量,导热系数为常数、稳态,导热系数为常数、稳态、无内热源,导热系数为常数、无内热源,综上说明：（1）导热问题仍然服从能量守恒定律；（2）等号左边是单位时间内微元体热力学能的增量（非稳态项）；（3）等号右边前三项之和是通过界面的导热使微分元体在单位时间内增加的能量(扩散项)；（4）等号右边最后项是源项；（5）若某坐标方向上温度不变，该方向的净导热量为零，则相应的扩散项即从导热微分方程中消失。,试推导：圆柱坐标系中的导热微分方程,考虑体积为的微元体，,(a),圆柱坐标系,和前面一样，泰勒级数展开并代入：,(b),微元体热力学能的增量,微元体内热源的生成热,圆柱坐标系中的导热微分方程,r要注意！,课后思考：推导球坐标系中的导热微分方程？,球坐标系,导热微分方程式的不适应范围:非傅里叶导热过程,极短时间(如10)产生极大的热流密度的热量传递现象，如激光加工过程。极低温度(接近于0K)时的导热问题。,导热方程的应用,1、温度分布已知：直接可利用傅里叶定律，确定导热速率；根据能量平衡和已知条件，确定进入、离开物体的传热速率，物体能量贮存变化规律等。,导热方程的应用,导热方程的应用,1、,2、应用能量守恒,3、应用导热微分方程,导热方程的应用,2、温度分布未知：列出导热微分方程；确定初始条件、边界条件；求解温度场；求解其他相关物理量。,导热过程的单值性条件,导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律+热力学第一定律,它描写物体的温度随时间和空间变化的关系；它没有涉及具体、特定的导热过程。通用表达式。,对特定的导热过程：需要得到满足该过程的补充说明条件的唯一解,单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件,单值性条件包括四项：几何、物理、时间、边界,完整数学描述：导热微分方程+单值性条件,1、几何条件,如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等,说明导热体的几何形状和大小,2、物理条件,如：物性参数k、c和的数值，是否随温度变化；有无内热源、大小和分布；是否各向同性,说明导热体的物理特征,3、时间条件,稳态导热过程不需要时间条件与时间无关,说明在时间上导热过程进行的特点,对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体内的温度分布,时间条件又称为初始条件,（Initialconditions）,、边界条件,说明导热体边界上过程进行的特点反映过程与周围环境相互作用的条件,边界条件一般可分为三类：第一类、第二类、第三类边界条件,（）第一类边界条件,Ts边界面上的温度,已知任一瞬间导热体边界上温度值：,稳态导热：Ts=常数,非稳态导热：Ts=f(t),例：,（Boundaryconditions）,（2）第二类边界条件,根据傅里叶定律：,已知物体边界上热流密度的分布及变化规律：,第二类边界条件相当于已知任何时刻物体边界面法向的温度梯度值,稳态导热：,非稳态导热：,特例：绝热边界面：,（3）第三类边界