2运动定律与力学中的守恒定律(1).ppt

运动定律和力学中的守恒定律,第二章,自然和自然规律隐藏在黑暗之中，上帝说“让牛顿降生吧”，一切就有了光明；但是，光明并不久长，魔鬼又出现了，上帝咆哮说：“让爱因斯坦降生吧”，就恢复到现在这个样子。,三百年前，牛顿站在巨人的肩膀上，建立了动力学三大定律和万有引力定律。其实，没有后者，就不能充分显示前者的光辉。海王星的发现，把牛顿力学推上荣耀的顶峰。,魔鬼的乌云并没有把牛顿力学推跨，她在更加坚实的基础上确立了自己的使用范围。宇宙时代，给牛顿力学带来了又一个繁花似锦的春天。,一、惯性定律惯性参考系,1、惯性定律（Newtonfirstlaw）任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，直到受到力的作用迫使它改变这种状态为止。,(2).定义了惯性参考系,(1).包含两个重要概念：惯性和力,2-1牛顿运动定律,问题,a=0时人和小球的状态符合牛顿定律,结论：牛顿定律成立的参照系称为惯性系。相对惯性系作加速运动的参照系是非惯性系。而相对惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系。,a0时人和小球的状态为什麽不符合牛顿定律？,2、惯性系与非惯性系,根据天文观察，以太阳系作为参照系研究行星运动时发现行星运动遵守牛顿定律，所以太阳系是一个惯性系。,二、牛顿第二定律（Newtonsecondlaw）在受到外力作用时，物体所获得的加速度的大小与外力成正比，与物体的质量成反比；加速度的方向与外力的矢量和的方向相同。,2、迭加性：,特点：瞬时性；迭加性；矢量性；定量的量度了惯性,3、矢量性：具体运算时应写成分量式,直角坐标系中：,自然坐标系中：,4、定量的量度了惯性,惯性质量：牛顿第二定律中的质量常被称为惯性质量,引力质量：,三、第三定律（Newtonthirdlaw）两个物体之间对各自对方的相互作用总是相等的，而且指向相反的方向。,作用力与反作用力：,1、它们总是成对出现，它们之间一一对应。,2、它们分别作用在两个物体上，绝不是平衡力。,3、它们一定是属于同一性质的力。,例：质量为m的小球，在水中受的浮力为常力F，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f=kv(k为常数），证明小球在水中竖直沉降的速度v与时间t的关系为,式中t为从沉降开始计算的时间,证明：取坐标，作受力图。,根据牛顿第二定律，有,四、牛顿定律的应用,初始条件：t=0时v=0,2-2力学相对性原理非惯性系中的力学,一、伽利略变换、经典力学时空观,时间、长度、质量“同时性”和力学定律的形式是绝对的,物体的坐标和速度、“同一地点”是相对的,经典时空观,根据伽利略变换，我们可得出牛顿的绝对时空观，也称之为经典时空观。,在S系内，米尺的长度为,在S系内，米尺的长度为,利用伽利略变换式得,结论：空间任意两点之间的距离对于任何的惯性系而言都是相等的，与惯性系的选择或观察者的相对运动无关。即：长度是“绝对的”，或称之为“绝对空间”。,再有,时间也与惯性系的选择或观察者的相对运动无关,“绝对空间”、“绝对时间”和“绝对质量”这三个概念的总和构成了经典力学的所谓“绝对时空观”：空间、时间和物质的质量与物质的运动无关而独立存在，空间永远是静止的、同一的，时间永远是均匀地流逝着的。,如果把随惯性系而变的看成是“相对”的，,那么经典力学中：,时间、长度、质量“同时性”和力学定律的形式,物体的坐标和速度“同一地点”,是相对的,是绝对的,把不随惯性系而变的看成是“绝对”的，,近代物理学发展表明：经典的、与物质运动无关的绝对时空观是错误的，并揭示出时间、空间与物质运动密切相关的相对性时空观；而力学相对性原理则得到改造发展为物理学中更为普遍的相对性原理,速度变换法则,加速度变换法则,在所有惯性系中，,加速度是不变量。,二、力学的相对性原理,在S系中：,在S系中：,在任何一个惯性系中牛顿定律都有完全相同的形式,即：伽利略相对性原理或经典相对性原理,力学规律对一切惯性系都是等价的,力学的相对性原理：,*三、非惯性系中的力学,1、在变速直线运动参考系中的惯性力：,2、在匀角速转动的非惯性系中的惯性力：,-惯性离心力,3、科里奥利力,在转动的非惯性系，还须引入科里奥利力，才可沿用牛顿定律的形式,地球是个匀角速转动的参考系，但由于自转角速度很小，地球上运动的物体往往察觉不到科里奥利力的存在。,2-3动量动量守恒定律,物理学大厦的基石,一、质点的动量定理,可得：,二、质点系的动量定理,第i个质点受到的合外力为,对第i个质点运用动量定理有：,因为：,三、动量守恒定律,一个孤立的力学系统（系统不受外力作用）或合外力为零的系统，系统内各质点间动量可以交换，但系统的总动量保持不变。即：动量守恒定律。,解：以人和车为研究系统，取地面为参照系。水平方向系统动量守恒。,1、,2、,3、,例二、质量为2.5g的乒乓球以10m/s的速率飞来，被板推挡后，又以20m/s的速率飞出。设两速度在垂直于板面的同一平面内，且它们与板面法线的夹角分别为45o和30o，求：（1）乒乓球得到的冲量；（2）若撞击时间为0.01s，求板施于球的平均冲力的大小和方向。,解：取挡板和球为研究对象，由于作用时间很短，忽略重力影响。设挡板对球的冲力为则有：,取坐标系，将上式投影，有：,为平均冲力与x方向的夹角。,用矢量法解,例三、一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上，如果把绳的上端放开，绳将落在桌面上。试证明：在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力，等于已落到桌面上的绳重量的三倍。,o,x,证明：取如图坐标，设t时刻已有x长的柔绳落至桌面，随后的dt时间内将有质量为dx（Mdx/L)的柔绳以dx/dt的速率碰到桌面而停止，它的动量变化率为：,根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：,柔绳对桌面的冲力FF即：,而已落到桌面上的柔绳的重量为mg=Mgx/L所以F总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg,2-4功、动能、势能、机械能守恒,一、功、功率,1、功力的空间积累外力作功是外界对系统过程的一个作用量,微分形式,直角坐标系中,例1作用在质点上的力为,在下列情况下求质点从,处运动到,处该力作的功：,1.质点的运动轨道为抛物线,2.质点的运动轨道为直线,做功与路径有关,2、功率力在单位时间内所作的功,瞬时功率等与力与物体速度的标积,单位：瓦特W,二、保守力的功,1、保守力,某些力对质点做功的大小只与质点的始末位置有关，而与路径无关。这种力称为保守力。,典型的保守力：重力、万有引力、弹性力,与保守力相对应的是耗散力,典型的耗散力：摩擦力,2、重力的功,m在重力作用下由a运动到b，取地面为坐标原点.,可见，重力是保守力。,3、弹力的功,可见，弹性力是保守力。,4、引力的功,两个质点之间在引力作用下相对运动时，以M所在处为原点,M指向m的方向为矢径的正方向。m受的引力方向与矢径方向相反。,可见万有引力是保守力。,例2、一陨石从距地面高为h处由静止开始落向地面，忽略空气阻力，求陨石下落过程中，万有引力的功是多少？,解：取地心为原点，引力与矢径方向相反,解：（一维运动可以用标量）,例4、一对作用力和反作用力的功,m1、m2组成一个封闭系统在dt时间内,三、动能定理,质点的动能,质点系统的动能,质点的动能定理,合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。,功是质点动能变化的量度,过程量,状态量,物体受外力作用,运动状态变化,动能变化,动能是相对量,四、势能、势函数,在受保守力的作用下，质点从AB，所做的功与路径无关，而只与这两点的位置有关。可引入一个只与位置有关的函数，A点的函数值减去B点的函数值，定义为从AB保守力所做的功，该函数就是势能函数。,定义了势能差,选参考点（势能零点），设,保守力做正功等于相应势能的减少；保守力做负功等于相应势能的增加。,外力做正功等于相应动能的增加；外力做负功等于相应动能的减少。,比较,重力势能（以地面为零势能点）,引力势能（以无穷远为零势能点）,弹性势能（以弹簧原长为零势能点）,势能只具有相对意义,系统的机械能,质点在某一点的势能大小等于在相应的保守力的作用下，由所在点移动到零势能点时保守力所做的功。,注意：1、计算势能必须规定零势能参考点。势能是相对量，其量值与零势能点的选取有关。2、势能函数的形式与保守力的性质密切相关，对应于一种保守力的函数就可以引进一种相关的势能函数。3、势能是属于以保守力形式相互作用的物体系统所共有的。4、一对保守力的功等于相关势能增量的负值。因此，保守力做正功时，系统势能减少；保守力做负功时，系统势能增加。,五、势能曲线,几种典型的势能曲线,（d）原子相互作用势能曲线,势能曲线:势能随位置变化的曲线,（a）重力势能曲线,（b）弹性势能曲线,（c）引力势能曲线,势能曲线提供的信息,1、质点在轨道上任意位置时，质点系所具有的势能值。,2、势能曲线上任意一点的斜率的负值，表示质点在该处所受的保守力,平衡位置,势能曲线有极值，质点处于平衡位置。,势能曲线取极小值的平衡点,力总是指向平衡位置,势能曲线取极大值的平衡点,力总是背离平衡位置,图中势能曲线可分成势阱A、势阱C和势垒B三个区间。,设系统机械能守恒，由此势能曲线可分析系统状态的变化。,E=E1系统被限制在势阱A中运动,E=E2系统在势阱A或C中运动，且二者只居其一。,E=E3系统可在xxd的区域自由运动。,六、质点系的动能定理与功能原理,对第i质点运用动能定理：,对所有质点求和可得：,注意：,不能先求合力，再求合力的功；只能先求每个力的功，再对这些功求和。,质点系总动能的增量等于外力的功与质点系内保守力的功和质点系内非保守力的功三者之和。,质点系的动能定理,外力对系统和系统非保守内力做功之和等于系统机械能的增量。,当外力对系统做功为零和系统非保守内力做功为零时，系统的机械能守恒。,七、机械能守恒定律,系统的机械能增加,系统的机械能减少,系统的机械能保持不变,系统的机械能增加,系统的机械能减少,系统的机械能保持不变,例一个质量为、半径为的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体由静止下落高度时的速度和此时滑轮的角速度。,解：据机械能守恒定律：,取滑轮、物体、地球为系统,2-5角动量角动量守恒定律,一、质点的角动量,质点相对O点的矢径与质点的动量的矢积定义为该时刻质点相对于O点的角动量，用表示。,直角坐标系中角动量的分量表示,二、质点的角动量定理,1、力矩,力矩的分量式:,对轴的力矩,单位：牛米（Nm）,2、质点的角动量定理,（2）力的作用线与矢径共线即()。,有心力：物体所受的力始终指向（或背离）某一固定点,力矩为零的情况:,（1）力等于零；,作用在质点上的力矩等于角动量对时间的变化率。,外力矩对系统的角冲量（冲量矩）等于角动量的增量。,角动量定理的微分形式,角动量定理的积分形式,三、质点角动量守恒定律,质点所受外力对固定点的力矩为零，则质点对该固定点的角动量守恒。质点的角动量守恒定律。,2-6刚体的定轴转动,一、质点系的角动量定理,1、质点系对固定点的角动量定理,对由n个质点组成的质点系中第i个质点，有：,对i求和有：,得：,作用于质点系的外力矩的矢量和等于质点系角动量的增量。质点系对固定点的角动量定理,2、质点系对轴的角动量定理,因有：,设质点系内各质点均在各自的转动平面内绕同一轴转动,质点系的转动惯量,单位为千克米2（kgm2）,3、转动惯量的计算,与转动惯量有关的因素：质量分布与转轴的位置。,单个质点的转动惯量,质量连续分布的刚体的转动惯量,注意,只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量。,例1、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。,解:,I是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。,例2、求质量为m、半径为R、厚为l的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。,解：取半径为r宽为dr的薄圆环,可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是mR2/2。,例3、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。,解：取如图坐标，dm=dx,平行轴定理,前例中IC表示相对通过质心的轴的转动惯量，IA表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距L/2。可见：,推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转动惯量为I，则有：IICmd2。,这个结论称为平行轴定理。,练习：右图所示，刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？(棒长为L、球半径为R）,二、刚体的转动定律,刚体转动定律可由牛顿第二定律直接导出,和为合外力和合内力,将切向分量式两边同乘以r，变换得,分解为作用在质量元dm上的切向力和法向力：,对等式左边积分得到外力矩,角加速度对所有质量元都相等,于是有,所以,其中,写成矢量形式,m反映质点的平动惯性，I反映刚体的转动惯性,力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。,刚体绕定轴Z的转动惯量(momentofinertia),刚体定轴转动的转动定律的应用,例1、一个质量为M、半径为R的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体m由静止下落高度h时的速度和此时滑轮的角速度。,mg,mg,解：,比较：,三、定轴转动的动能定律,1、转动动能,刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半。,2、力矩的功,式中,对i求和，得：,力矩的功率为：,当输出功率一定时,力矩与角速度成反比。,3、刚体定轴转动的动能定理,当=1时，=1所以：,合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。,刚体定轴转动的动能定理,例2、一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角加速度和角速度。,解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对O的力矩。棒上取质元dm,当棒处在下摆角时，该质量元的重力对轴的元力矩为,重力对整个棒的合力矩为,代入转动定律，可得,定轴转动刚体的角动量的增量等于合外力矩对冲量矩。,四、刚体组对轴的角动量守恒定律,外力对某轴的力矩之和为零，则该物体对同一轴的角动量守恒。,对轴的角动量守恒定律,角动量守恒定律的两种情况：,1、转动惯量保持不变的刚体,例：回转仪,2、转动惯量可变的物体,例：旋转的舞蹈演员,*2-7混沌,混沌(chaos)理论是非线性理论中一个最为活跃的一个研究领域。,决定性动力学系统的内禀随机行为。决定论的混乱。,混沌系统定义为敏感地依赖于初始条件的内在变化的系统。,初始条件的极小差异，会导致系统完全不同的结果，只要时间充分的长。,讨论,混沌系统的敏感依赖性是系统自身所具有的，不是外界施加的。,对于外来变化的敏感性本身并不味着混沌,看似随机、不可预报的事件，事实上是按照严格且经常是易于表述的规律运动着。,庞加莱三体运动的混沌现象,对太阳系统行星运动轨道的研究。,希尔的三个简化：,1、三个天体中质量最小的对另外两个天体的影响可以忽略。2、较大的两个天体围绕它们共同的质心作椭圆运动（两个天体相对距离不变）。3、三体在一个平面运动。,初始状态：将坐标系固定在两个较大的天体上，x轴与两者的连线平行，y轴垂直于连线，问题简化为最小的天体在两个有心力场作用下的运动。,两个大天体可完全不必理会小天体产生的引力对它们轨道的影响，更不会动摇它们之间运动的和谐。,小天体的运动会是怎样的呢？,在相空间的截面上发现，小天体的运动竟是没完没了的自我缠结，密密麻麻地交织成错综复杂的蜘蛛网。,这样复杂的运动是高度不稳定的，任何微小的扰动都会使小天体的轨道在一段时间后有显著的偏离。因此这样的运动在一段时间后是不可预测的。,气象变化的蝴蝶效应,模拟气候变化：建立一组非线性微分方程，给定初值进行迭代,惊人结果：初值微小差异，会导致结果巨大变化,长期的天气预报是不可能的。,蝴蝶效应,混沌的定性特征,1、内随机性,随机性：在一定条件下，如果系统的某个状态既可能出现，也可能不出现。,系统自身不会出现随机性，随机性来自系统外部或某些尚不清楚的原因的干扰作用。,看来完全确定的系统(用确定的微分方程描述)内部产生的随机性。,混沌现象产生的根源在系统自身，而不在外部的影响。,由Lorentz在气象研究中发现的对初始条件的敏感依赖性，可以形象地比喻为仅仅由于几千公里以外的一只蝴蝶翅膀的小小扇动，就有可能使得气象学家无法预测一个月以后的天气情况。,2、分维性质,混沌态非整数维不是用来描述系统的几何外形，而是用来描述系统运动轨道在相空间的行为特征。,3、普适性和Feigenbaum常数,混沌是一种无周期性的“高级”有序运动，可以发现混杂在小尺度混沌中的有序运动花样。,在趋向混沌时所表现出来的共同特征，不依具体的系数以及系统的运动方程而变。,普适性-,Feigenbaum常数-,反映了系统在趋向混沌时的一种普遍的动态不变性。在趋向混沌时，把标尺缩小或放大，看到的仍然是相似的“几何结构”。,常见的混沌现象,1、天体力学中的地球上流星的起源问题,太阳系的小行星大部分存在与火星与木星之间，因此地球上的流星也只能起源于这个小行星带。但是这个小行星带离地球很远，只有偏心率达到57%的小行星的轨道才能与地球轨道相交。,考虑非共面效应和木星轨道平面相对于行星带的缓慢变化，发现混沌运动确实可以使偏心率达到60%。,Wisdom通过具体计算，能够给出与观察一致的流星轨道与丰度，特别是所谓的“下午效应”(即下午观察到的流星是上午的两倍)。,2、地磁场的混沌运动,地球的磁场不断地改换极性，而且每种极性维持的时间间隔是无规则的，这可能是由于地球内部物质与电荷的经向与纬向的两种运动耦合产生的。两个方向的运动及两个方向磁场的相互作用会产生混沌运动。,3、生理学中的“反”混沌-动态病,传统生理学认为，健康人的心率是规则的，具有周期性。然而更为精确的测量与研究发现，心律节奏与时间的变化是极不规则的，即心率在时间上是混沌的。,并不指混乱不堪无规可循，而是确定性系统的内在随机性的表现，是一种无周期的有序。,动态病-以异常时间组织结构为特征的疾病,动态病的出现不在于人体中的“混沌”，而恰恰在于出现了“周期性”。,-“反混沌”,正常个体身上各个主要系统中的各种节律之间有着错综复杂的相互关系，这些节律极少表现出绝对的周期性。,结论,体内功能的混沌标志着健康，而周期性行为却可能预示着疾病。,正是由于混沌系统可在范围十分广泛的各种条件下工作，它们具有高度的适应性和灵活性，可使系统应付多变环境中出现的种种突变。,若系统表现为周期运动，那么系统就只有很少的运动模式，无法应付多变的环境中所出现的种种突变，这会导致系统损伤和功能失调。,*2-8对称性与守恒定律,问题的提出,守恒定律是与宇宙中某些对称性相联系的。对称性是统治物理规律的规律。,守恒定律具有比力学理论更深厚的基础吗？,经典力学理论的局限性,守恒定律的普适性,宏观、微观、低速、高速,一、关于系统的对称性,1、系统,2、关于对称性,定义:若某个物理规律(或物理量)在某种操作下能保持不变，则这个物理规律或物理量对该操作具有对称性。,操作绕中心旋任意角,状态A与状态B相同或等价,对称性破缺,数学定义：若图形通过某种操作后又回到