抛物线-圆结合专题-(含解析)

抛物线与圆的结合问题 例1、抛物线交轴于、两点，交轴于点,已知抛物线的对称轴为，,， 求二次函数的解析式；在抛物线对称轴上是否存在一点，使点到、两点距离之差最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由； 平行于轴的一条直线交抛物线于两点，若以为直径的圆恰好与轴相切，求此圆的半径解：（1）将代入，得 将，代入，得 是对称轴，将（2）代入（1）得， 二次函数得解析式是（2）与对称轴的交点即为到的距离之差最大的点点的坐标为，点的坐标为， 直线的解析式是，又对称轴为， 点的坐标 （3）设、，所求圆的半径为r，则 ，.(1) 对称轴为， .(2)由（1）、（2）得：.(3) 将代入解析式，得 ，.(4)整理得： 由于 r=y，当时，解得， ， （舍去），当时，解得， ， （舍去）所以圆的半径是或 例2、如图，在直角坐标系中，C过原点O，交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，）。 求圆心的坐标； 抛物线yax2bxc过O、A两点，且顶点在正比例函数yx的图象上，求抛物线的解析式； 过圆心C作平行于x轴的直线DE，交C于D、E两点，试判断D、E两点是否在中的抛物线上； 若中的抛物线上存在点P（x0，y0），满足APB为钝角，求x0的取值范围。解：（1）C经过原点O， AB为C的直径。 C为AB的中点。ABCDEFOHxy过点C作CH垂直x轴于点H，则有CHOB，OHOA1。圆心C的坐标为（1，）。（2）抛物线过O、A两点，抛物线的对称轴为x1。抛物线的顶点在直线yx上， 顶点坐标为（1，）把这三点的坐标代入抛物线抛物线yax2bxc，得解得抛物线的解析式为。 （3）OA2，OB2，.即C的半径r2。D（3，），E（1，）代入检验，知点D、E均在抛物线上（4）AB为直径，当抛物线上的点P在C的内部时，满足APB为钝角。1x00，或2x03。例3、如图，已知抛物线的顶点坐标为M(1,4)，且经过点N(2,3)，与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C。求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标；若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x轴上方是否存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。解：（1）由抛物线的顶点是M（1，4），设解析式为 又抛物线经过点N（2，3），所以 解得a1 所以所求抛物线的解析式为y令y0，得解得：得A（1，0） B（3，0） ；令x0，得y3，所以 C（0，3）.（2）直线y=kx+t经过C、M两点，所以即k1，t3 直线解析式为yx3. 令y0，得x3，故D（3，0） CD 连接AN，过N做x轴的垂线，垂足为F. 设过A、N两点的直线的解析式为ymxn， 则解得m1，n1 所以过A、N两点的直线的解析式为yx1 所以DCAN. 在RtANF中，AN3，NF3，所以AN 所以DCAN。 因此四边形CDAN是平行四边形.（3）假设在x轴上方存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，设P（1，u） 其中u0，则PA是圆的半径且过P做直线CD的垂线，垂足为Q，则PQPA时以P为圆心的圆与直线CD相切。由第（2）小题易得：MDE为等腰直角三角形，故PQM也是等腰直角三角形， 由P（1，u）得PEu， PM|4-u|， PQ由得方程：，解得，舍去负值u ，符合题意的u，所以，满足题意的点P存在，其坐标为（1，）.例4、已知：如图，抛物线的图象与轴分别交于两点，与轴交于点，经过原点及点，点是劣弧上一动点（点与不重合）（1）求抛物线的顶点的坐标； （2）求的面积；（3）连交于点，延长至，使，试探究当点运动到何处时，直线与相切，并请说明理由例4、解 （1）抛物线 的坐标为