第2章第3节 (2).ppt

第三节函数的奇偶性与周期性,主干回顾夯基础,一、奇函数、偶函数的定义与性质,y轴,原点,原点,相反,相同,0,二、周期性1周期函数对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期2最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)1偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()2函数f(x)0，x(0，)既是奇函数又是偶函数()3若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称()4若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称()5周期函数的周期是唯一的(),3函数yf(xa)的图象左(右)平移|a|个单位后，便可得函数yf(x)的图象，故yf(x)的图象关于直线xa对称，正确4把yf(xb)的图象向左(右)平衡|b|个单位可得yf(x)的图象，从而yf(x)的图象关于点(b,0)对称，正确5周期不唯一，若T是函数yf(x)(xR)的一个周期，则nT(nZ，且n0)也是f(x)的周期故错误,1(课本习题改编)已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab_.,2设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x(0，)时，f(x)lgx，则满足f(x)0的x的取值范围是_解析：(1,0)(1，)当x0f(x)lg(x)又f(x)为奇函数f(x)lg(x)(x0时，f(x)x2x，则当x0，故f(x)x2xf(x)；当x0时，x0，故f(x)x2xf(x)，故原函数是偶函数,判断函数奇偶性的常用方法(1)定义法求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件；当定义域关于原点对称时，再判断f(x)f(x)或f(x)f(x)是否对定义域内的每一个x恒成立(恒成立要给予证明，否则要举出反例),【提醒】判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性,(2)图象法(3)运用常用结论判断设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇【提醒】此种方法常用在选择题、填空题中,函数奇偶性的应用,(2)(2013四川高考)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)x24x，那么，不等式f(x2)5的解集是_解析：(7,3)当x0时，令x24x5，解得，0x5.又因为f(x)为定义域为R的偶函数，则不等式f(x2)5等价于5x25，即7x3；故解集为(7,3),函数奇偶性的常见应用有以下几种类型(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解(2)求解析式将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出解析式，或利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式,(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据f(x)f(x)0得到关于待求参数的恒等式，根据系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值(4)画函数图象、判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性,3(2014哈九中模拟)奇函数f(x)在(0，)上的解析式是f(x)x(1x)，则在(，0)上，函数f(x)的解析式是()Af(x)x(1x)Bf(x)x(1x)Cf(x)x(1x)Df(x)x(x1)解析：选B当x(，0)时，x(0，)，由于函数f(x)是奇函数，故f(x)f(x)x(1x),(1)(2013湖北高考)x为实数，x表示不超过x的最大整数，则函数f(x)xx在R上为()A奇函数B偶函数C增函数D周期函数,函数的周期性及其应用,解析：选D由题意f(1.1)1.11.10.1，f(1.1)1.11.11.1(2)0.9，故该函数不是奇函数，也不是偶函数，更不是增函数又对任意整数a，有f(ax)axaxxxf(x)，故f(x)在R上为周期函数故选D.,(2)(2012山东高考)定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)，当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2012)()A335B338C1678D2012解析：选B由f(x6)f(x)得f(x)的周期为6，所以f(1)f(2)f(2012)335f(1)f(2)f(6)f(1)f(2)，而f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1，f(4)f(2)0，f(5)f(1)1，f(6)f(0)0，f(1)f(2)f(3)f(6)1.所以f(1)f(2)f(2012)338，故选B.,2函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题在此类问题中，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号的作用,学科素能重培养,热点难点突破系列之(三)破解赋值法在研究抽象函数问题中的应用所谓抽象函数即为解析式不知的函数，抽象函数是高中数学的难点，对抽象函数的研究常要通过函数的性质来体现，如函数的单调性、周期性和奇偶性利用赋值法将条件进行转化是解决抽象函数问题的重要策略,1抽象函数的解析式【典例1】设f(x)是R上的函数，且满足f(0)1，并且对任意实数x，y有f(xy)f(x)y(2xy1)，求f(x)的表达式解：方法一：f(xy)f(x)y(2xy1)设xy，得f(0)f(x)x(2xx1)因为f(0)1，所以f(x)x(2xx1)1，即f(x)x2x1.,方法二：令x0，得f(0y)f(0)y(y1)又f(0)1，即f(y)1y(y1)又令yx代入上式，得f(x)1(x)(x1)1x(x1)，所以f(x)x2x1.,题后总结(1)所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数至于取什么特殊值，根据题目特征而定(2)通过取某些特殊值代入题设中的等式，可使问题具体化，简单化，从而顺利地找出规律，求出函数的解析式,题后总结判断抽象函数的周期性时，给其中一个变量赋值是关键，同时由于函数的周期性是函数的整体性质，因此另一个变量必须具有任意性,3抽象函数的奇偶性、单调性及应用【典例3】函数f(x)的定义域Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明；(3)如果f(4)1，f(3x1)f(2x6)3，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围,解：(1)令x1x21，则有f(11)f(1)f(1)，解得f(1)0.(2)f(x)为偶函数，证明如下：令x1x21，则有f(1)(1)f(1)f(1)，解得f(1)0.令x11，x2x，则有f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)f(x)为偶函数,题后总结抽象函数的奇偶性的判定需利用定义来解决，解题时，如果等式中还出现其他未知量，如