24、1、2垂径定理1.ppt

24.1.2垂径定理,问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？,赵州桥主桥拱的半径是多少？,问题情境,把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？,可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴,活动一,圆的对称性及特性,圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.,用旋转的方法可以得到:,一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.,这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性,如图，AB是O的一条弦，做直径CD，使CDAB，垂足为E（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？,O,A,B,C,D,E,活动二,（1）是轴对称图形直径CD所在的直线是它的对称轴,（2）线段：AE=BE,O,A,B,C,D,E,几何语言表达,垂径定理：,推论：,垂径定理及逆定理,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.,平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.,平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.,垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.,平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.,判断下列说法的正误,平分弧的直径必平分弧所对的弦,平分弦的直线必垂直弦,垂直于弦的直径平分这条弦,平分弦的直径垂直于这条弦,弦的垂直平分线是圆的直径,平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦,在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧,辨别是非,解得：R279（m）,解决求赵州桥拱半径的问题,在RtOAD中，由勾股定理，得,即R2=18.72+（R7.2）2,赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.,OA2=AD2+OD2,实践应用,1如图，在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径,O,A,B,E,练习,解：,答：O的半径为5cm.,活动三,在RtAOE中,3.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？,证明：过O作OEAB，垂足为E，则AEBE，CEDE。AECEBEDE即ACBD,2.在半径为30的O中，弦AB=36，则O到AB的距离是=，,练一练,24mm,注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法,活动三,E,小结:,解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。,E,.,A,C,D,B,O,.,A,B,O,2如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ADOE是正方形,证明：,四边形ADOE为矩形，,又AC=AB,AE=AD,四边形ADOE为正方形.,例3：如图，圆O的弦AB8，DC2，直径CEAB于D，求半径OC的长。,垂径,直径MNAB,垂足为E,交弦CD于点F.,驶向胜利的彼岸,挑战自我画一画,2.已知：如图,O中,弦ABCD,ABCD,直径MNAB,垂足为E,交弦CD于点F.图中相等的线段有:.图中相等的劣弧有:.,弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为.,垂径定理的应用,在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.,2、在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面的油面宽AB=600mm，求油的最大深度.,D,C,3.已知直线AC:Y=2X+4与X轴交于A,与Y轴交于C,M为X轴上的点，以M为圆心的圆经过点A.C,求M的坐标,B,M,O,A,C,挖掘潜力,某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为.2m，过O作OCAB于D，交圆弧于C，CD=2、4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？,C,N,M,A,E,H,F,B,D,O,船能过拱桥吗?,如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？,船能过拱桥吗,解:如图,用表示桥拱,所在圆的圆心为O,半径为Rm,经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与相交于点C.根据垂径定理,D是AB的中点,C是的中点,CD就是拱高.由题设得,在RtOAD中，由勾股定理，