2013-2014学年2解析几何12学时2013-2014学年_2_解析几何12学时0_1矢量

数量关系,第一部分向量代数,第二部分空间解析几何,在三维空间中:,空间形式点,线,面,基本方法坐标法;向量法,坐标,方程（组）,空间解析几何与向量代数,机动目录上页下页返回结束,四、利用坐标作向量的线性运算,第一节,一、向量的概念,二、向量的线性运算,三、空间直角坐标系,五、向量的模、方向角、投影,机动目录上页下页返回结束,向量及其线性运算,表示法:,向量的模:,向量的大小,一、向量的概念,向量:,(又称矢量).,既有大小,又有方向的量称为向量,向径(矢径):,自由向量:,与起点无关的向量.,起点为原点的向量.,单位向量:,模为1的向量,零向量:,模为0的向量,有向线段M1M2,或a,机动目录上页下页返回结束,规定:零向量与任何向量平行;,记作,因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称,两向量共线.,若k(3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k,个向量共面.,机动目录上页下页返回结束,二、向量的线性运算,1.向量的加法,三角形法则:,平行四边形法则:,运算规律:,交换律,结合律,三角形法则可推广到多个向量相加.,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,2.向量的减法,三角不等式,机动目录上页下页返回结束,3.向量与数的乘法,是一个数,规定:,可见,总之:,运算律:,结合律,分配律,因此,机动目录上页下页返回结束,定理1.,设a为非零向量,则,(为唯一实数),取,且,再证数的唯一性.,则,取正号,反向时取负号,机动目录上页下页返回结束,(*),则,此定理是建立数轴的依据给定了一个点及一个单位向量就确定了一条数轴,定义实数x为轴上点P的坐标.,机动目录上页下页返回结束,例1.设M为,解:,机动目录上页下页返回结束,轴上点P的坐标为x的充分必要条件是,三、空间直角坐标系,由三条互相垂直的数轴按右手规则,组成一个空间直角坐标系.,坐标原点,坐标轴,x轴(横轴),y轴(纵轴),z轴(竖轴),过空间一定点o,坐标面,卦限(八个),zox面,1.空间直角坐标系的基本概念,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,练习：在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？,VIII,VI,V,VII,向径,在直角坐标系下,坐标轴上的点P,Q,R;,坐标面上的点A,B,C,点M,特殊点的坐标:,有序数组,(称为点M的坐标),原点O(0,0,0);,机动目录上页下页返回结束,坐标轴:,坐标面:,机动目录上页下页返回结束,(-3,2,1),(3,2,-1),(-3,-2,-1),(-3,-2,1),(3,2,1),(3,-2,-1),练习：,2.向量的坐标表示,在空间直角坐标系下,设点M,则,沿三个坐标轴方向的分向量.,的坐标为,机动目录上页下页返回结束,四、利用坐标作向量的线性运算,设,则,平行向量对应坐标成比例:,机动目录上页下页返回结束,*,例2.,求解以向量为未知元的线性方程组,解:,23,得,代入得,机动目录上页下页返回结束,例3.已知两点,在AB直线上求一点M,使,解:设M的坐标为,如图所示,及实数,得,即,机动目录上页下页返回结束,说明:由,得定比分点公式:,点M为AB的中点,于是得,中点公式:,机动目录上页下页返回结束,(6,1,19),(9,-5,12),机动目录上页下页返回结束,练习,提示：,机动目录上页下页返回结束,五、向量的模、方向角、投影,1.向量的模与两点间的距离公式,则有,由勾股定理得,因,得两点间的距离公式:,对两点,与,机动目录上页下页返回结束,*,*,例4.求证以,证:,即,为等腰三角形.,的三角形是等腰三角形.,为顶点,机动目录上页下页返回结束,练习,设,求以向量,行四边形的对角线的长度.,该平行四边形的对角线的长度各为,对角线的长为,解,为边的平,机动目录上页下页返回结束,例5.在z轴上求与两点,等距,解:设该点为,解得,故所求点为,及,思考:,(1)如何求在xoy面上与A,B等距离之点的轨迹方程?,(2)如何求在空间与A,B等距离之点的轨迹方程?,离的点.,机动目录上页下页返回结束,提示:,(1)设动点为,利用,得,(2)设动点为,利用,得,且,例6.已知两点,和,解:,求,机动目录上页下页返回结束,求平行于某向量的单位向量?,2.方向角与方向余弦,设有两非零向量,任取空间一点O,称=AOB(0)为向量,的夹角.,类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.,与三坐标轴的夹角,为其方向角.,方向角的余弦称为其方向余弦.,机动目录上页下页返回结束,方向余弦的性质:,机动目录上页下页返回结束,*,*,*,例7.已知两点,和,的模、方向余弦和方向角.,解:,计算向量,机动目录上页下页返回结束,例8.设点A位于第一卦限,解:已知,角依次为,求点A的坐标.,则,因点A在第一卦限,故,于是,故点A的坐标为,向径OA与x轴y轴的夹,第二节目录上页下页返回结束,练习,设有向量,，已知,，它与,x,轴,和,y,轴的夹角分别为,和,，如果,的坐标为,，求,的坐标,.,机动目录上页下页返回结束,空间一点在轴上的投影,3向量在轴上的投影,机动目录上页下页返回结束,空间一向量在轴上的投影,机动目录上页下页返回结束,说明：,投影为正；,投影为负；,投影为零；,(4)相等向量在同一轴上投影相等；,机动目录上页下页返回结束,或记作,向量的投影性质：,机动目录上页下页返回结束,解:因,例9设,求向量,在x轴上的投影及在y,轴上的分向量.,在y轴上的分向量为,故在x轴上的投影为,机动目录上页下页返回结束,例10,设立方体的一条对角线为OM，,一条棱为OA,且|OA|=a,解,机动目录上页下页返回结束,向量的概念（注意与标量的区别