高考数学复习全套课件(理) 第二章第四节函数的奇偶性

1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性和周期性,1奇函数,2偶函数,3周期函数,思考探究是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？,提示：存在该函数的特点是定义域关于坐标原点对称，且解析式化简后等于0.,1.设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是()A.f(x)f(x)是奇函数B.f(x)|f(x)|是奇函数C.f(x)f(x)是偶函数D.f(x)f(x)是偶函数,解析：令F(x)f(x)f(x).F(x)f(x)f(x)为偶函数，故D正确.,答案：D,2.对任意实数x，下列函数中的奇函数是()A.y2x3B.y3x2C.yln5xD.y|x|cosx,解析：若f(x)ln5x，则f(x)ln5xln(5x)1ln5xf(x).函数yln5x为奇函数.,答案：C,3.已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是()A.B.C.D.,解析：函数f(x)ax2bx在xa1,2a上为偶函数，b0，且a12a0，即b0，a.ab.,答案：B,4.已知函数yf(x)为奇函数，若f(3)f(2)1，则f(2)f(3).,解析：由题意得f(2)f(3)f(2)f(3)f(3)f(2)1.,答案：1,5.设函数f(x)为奇函数，则a.,解析：f(x)为奇函数，由f(1)f(1)得a1.,答案：1,判断函数奇偶性的一般方法(1)首先确定函数的定义域，看其是否关于原点对称的.否则，既不是奇函数也不是偶函数.(2)若定义域关于原点对称，则可用下述方法进行判断：定义判断：f(x)f(x)f(x)为偶函数，f(x)f(x)f(x)为奇函数.,等价形式判断：f(x)f(x)0f(x)为偶函数，f(x)f(x)0f(x)为奇函数.或等价于：，则f(x)为偶函数；1，则f(x)为奇函数.(3)对于分段函数的奇偶性的判断应分段进行.,特别警示分段函数的奇偶性判定，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x范围取相应的解析式化简.此类问题也可利用图象作判断.,判断下列函数的奇偶性：,思路点拨,课堂笔记(1)函数定义域为(，0)(0，).,f(x)是偶函数.,(2)函数定义域为R.,f(x)是奇函数.,(3)由得x，或x.函数f(x)的定义域为，.又对任意的x，x，且f(x)f(x)f(x)0，f(x)既是奇函数又是偶函数.,(4)函数定义域为(，0)(0，).当x0时，x0，则f(x)(x)2x(x2x)f(x)；当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2x(x2x)f(x).对任意x(，0)(0，)都有f(x)f(x).故f(x)为奇函数.,(5)函数f(x)的定义域为R.当a0时，f(x)f(x)，f(x)是偶函数；当a0时，f(a)a22，f(a)a22|a|2.f(a)f(a)，且f(a)f(a)2(a2|a|2)2(|a|)20，f(x)是非奇非偶函数.,判断(或证明)抽象函数的奇偶性的步骤(1)利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现f(x)，f(x)；(2)巧妙赋值，合理、灵活变形配凑；(3)找出f(x)与f(x)的关系，得出结论.,已知函数f(x)对一切x、yR，都有f(xy)f(x)f(y).(1)试判断f(x)的奇偶性；(2)若f(3)a，用a表示f(12).,思路点拨,课堂笔记(1)显然f(x)的定义域是R，关于原点对称.又函数f(x)对一切x、yR都有f(xy)f(x)f(y).令xy0，得f(0)2f(0)，f(0)0.再令yx，得f(0)f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为奇函数.(2)f(3)a且f(x)为奇函数，f(3)f(3)a.又f(xy)f(x)f(y)，x、yR，f(12)f(66)f(6)f(6)2f(6)2f(33)4f(3)4a.,(1)对抽象函数解不等式问题，应充分利用函数的单调性，将“f”脱掉，转化为我们会求的不等式；(2)奇偶函数的不等式求解时，要注意到：奇函数在对称的单调区间上有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间上有相反的单调性.,函数f(x)的定义域为Dx|xR且x0，且满足对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2).(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)1，f(3x1)f(2x6)3，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围.,思路点拨,课堂笔记(1)对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)，令x1x21，得f(1)2f(1)，f(1)0.(2)令x1x21，有f(1)f(1)f(1)，f(1)f(1)0.令x11，x2x有f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为偶函数.,(3)依题设有f(44)=f(4)+f(4)=2.f(164)=f(16)+f(4)=3，f(3x+1)+f(2x-6)3，即f(3x+1)(2x-6)f(64)(*),法一：f(x)为偶函数，f(|(3x1)(2x6)|)f(64).又f(x)在(0，)上是增函数，0|(3x1)(2x6)|64.解上式，得3x5或x或x3.x的取值范围为x|x或x3或3x5.,法二：f(x)在(0，)上是增函数，(*)等价于不等式组或或,3x5或x或x3.x的取值范围为x|x或x3或3x5.,将本例中的条件f(x1x2)f(x1)f(x2)改为f(x1x2)f(x1)f(x2)，定义域Dx|x0改为DR，求解第(2)，(3)问.,f(x)为奇函数.,解：(2)令x1x20，得f(0)0；令x1x，x2x，得f(0)f(x)f(x)，即f(x)f(x)，,(3)f(4)1，f(8)f(4)f(4)2，f(12)f(48)f(4)f(8)3.又f(3x1)f(2x6)3，f(3x12x6)f(12)，即f(5x5)f(12).又f(x)在(0，)上为增函数，f(x)为奇函数，f(x)在R上是增函数，5x512，x.,(1)判断函数的周期，只须证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点(2)周期函数的性质，f(xkT)f(x)其中k是整数,已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x2)f(x)，(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(x)为奇函数，且当0x1时，f(x)x，求使f(x)在0，2009上的所有x的个数,思路点拨,课堂笔记(1)f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数(2)当0x1时，f(x)x.设1x0，则0x1，f(x)(x)x，f(x)是奇函数，f(x)f(x)，f(x)x，即f(x)x.,故f(x)x(1x1)又设1x3，则1x21，f(x2)(x2)，又f(x2)f(2x)f(x)2f(x)f(x)，f(x)(x2)，f(x)(x2)，(1g(1),5.设定义在2,2上的偶函数f(x)在区间0,2上单调递减，若f(1m)f(m)，则实数m的取值范围是.,解析：f(x)是偶函数，f(x)f(x)f(|x|).不等式f(1m)f(m)f(|1m|)f(|m|).又当x0,2时