实对称矩阵的对角化【PPT课件】_第1页
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4.4 实对称矩阵的对角化,4.4.1 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质,定理1(性质1)对称矩阵的特征值为实数.,证明,说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵,于是有,两式相减，得,定理1的意义,定理2(性质2),证明,于是,定理3(性质3),证明,它们的重数依次为,设 的互不相等的特征值为,4.4.2 实对称矩阵的对角化,根据定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定理3可得结论：,由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交，,这样的特征向量共可得 个.,故这 个单位特征向量两两正交.,以它们为列向量构成正交矩阵 ，则,根据上述结论， 利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：,2.,1.,解,例1 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ，使 为对角阵.,(1)第一步 求 的特征值,解之得基础解系,解之得基础解系,解之得基础解系,第三步 将特征向量正交化,第四步 将特征向量单位化,于是得正交阵,1.对称矩阵的性质：,小结:,(1)特征值为实数； (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值,2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：,(1)求特征值；(2)求特征向量；(3
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