第九章 代数系统.ppt

第9章代数系统,离散数学,本章说明,本章的主要内容一元和二元运算定义及其实例二元运算的性质代数系统定义及其实例子代数,与后面各章的关系是后面典型代数系统的基础,9.1二元运算及其性质9.2代数系统本章小结作业,本章内容,群论的创始者Galois埃瓦里斯特伽罗华（1811-1832法）,群论是现代数学非常重要的分支,群论产生的开端非常平凡,但是群论的创立者却充满了传奇.我们熟知的公式,是二次方程,求根公式.群指的是满足以下四个条件的一组元素的集合：（1）封闭性（2）结合律成立（3）单位元存在（4）逆元存在。,人们试图对次数更高的方程得到类似的求解公式.公元前1600年的巴比伦数学家已知道如何解二次方程,尽管他们没有使用我们现在的代数符号去表达方程及其解.形如ax3+bx2+cx+d=0的三次方程的求根公式直至16世纪才被发现.它是由意大利数学家费罗(Ferro)和丰塔那(Fontana)彼此独立得到的.,1545年,卡尔达塔(Cardano)在他的大术(ArsMagna)一书中公开发表了丰塔那的方法.这部书还讲述了费拉里(Ferrari)求解四次方程的方法.但事情的发展似乎突然停了下来.虽然有很多数学家作出了努力,其中包括18世纪中叶伟大的瑞士数学家欧拉(Euler),但没有一个人能找出五次方程的求根公式.,拉格朗日(Lagrange)在1770年猜测:这样的求根公式不存在.1824年,挪威数学家阿贝尔(Abel)证明了拉格朗日的看法.但是虽然没有通用公式,有些特殊的五次方程有求根公式,那么自然会问:如何判定一个给定的五次方程是否有这样的求根公式?阿贝尔去世(1829年,26岁)前一直在竭尽全力地研究这个问题.,在这一时期,碰巧还有一位年轻人也在勤奋地钻研这个问题,而且最终取得了成功,他就是伽罗华(Galois).可是这位年轻人获得的非凡成果,在他因决斗去世11年后才开始得到数学界的承认.伽罗华1811年10月降生于巴黎近郊.14岁那年因考试不及格而重上三年级.,15岁参加声望很高的巴黎高等工科大学的入学考试时,伽罗华失败了,不得不进入较普通的师范学校.就是在这所学校,伽罗华写出了他的第一篇关于连分数的数学论文,显示了他的能力.他的下两篇关于多项式方程的论文遭到法国科学院的拒绝.更遭的是,两篇论文手稿还莫名其妙地被丢失了.,1829年7月,他在巴黎高等工科大学的入学考试中再次失败.怀着沮丧之情,伽罗华于1830年初又向科学院提交了另一篇论文,这次是为竞争一项数学大奖.科学院秘书傅立叶(Fourier)将其手稿拿回家去审读,不料在写出评审报告前去世了,此文再也没有找到.,三失手稿,加之考巴黎高等工科大学两度失败,伽罗华遂对科学界产生排斥情绪,变成了学生激进分子,被学校开除.担任私人辅导教师谋生,但他的数学研究工作依然相当活跃.在这一时期写出了最著名的论文“关于方程可根式求解的条件”,并于1831年1月送交科学院.到3月,科学院方面仍杳无音讯,于是他写信给院长打听他的文章的下落,结果又如石沉大海.,他放弃了一切希望,参加了国民卫队.在那里和他在数学界一样运气不佳.他刚加入不久,卫队即遭控告阴谋造反而被解散.在1831年5月10日进行的一次抗议聚宴上,伽罗华手中举着出鞘的刀提议为国王干杯,这一手势被同伙们解释成是要国王的命；第2天他就被捕了.后来被判无罪,并于6月15日获释.,7月4日,他终于打听到他给科学院的那篇论文的命运:因“无法理解”而遭拒绝.审稿人是著名的数学家泊松(Poisson).7月14日他又遭逮捕并被判了六个月监禁,因为他在公共场所身着已被解散的国民卫队的制服.在获释不久,他陷入了与斯特凡妮小姐的恋情.这导致了他的早亡.这次恋爱事件不知何故引出了一场决斗.,1832年5月29日,决斗的前夜,伽罗华写了封很长的信给他的朋友舍瓦利耶(A.Chevalier),其中大致描述了他的数学理论,从而给数学界留下了唯一一份它将蒙受何等损失的提要.在第二天的决斗中(离25步远用手枪射击),伽罗华的胃部中弹,24小时后去世.享年不足21岁.伽罗华留给世界的最核心的概念是(置换)群,他成了群论的创始人.,9.1二元运算及其性质,定义9.1设S为集合，函数f：SSS称为S上的二元运算，简称为二元运算。举例f:NNN，f()x+y是自然数集合N上的二元运算f:NNN，f()x-y不是自然数集合N上的二元运算称N对减法不封闭。,说明,验证一个运算是否为集合S上的二元运算主要考虑两点：S中任何两个元素都可以进行这种运算，且运算的结果是唯一的。S中任何两个元素的运算结果都属于S，即S对该运算是封闭的。,（1）自然数集合N上的加法和乘法是N上的二元运算，但减法和除法不是。（2）整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算，而除法不是。（3）非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算，加法、减法不是。,例9.1,一元运算,定义9.2设S为集合，函数f：SS称为S上的一元运算，简称为一元运算。例9.3（1）求一个数的相反数是整数集合Z、有理数集合Q和实数集合R上的一元运算。（2）求一个数的倒数是非零有理数集合Q*、非零实数集合R*上的一元运算。（3）求一个复数的共轭复数是复数集合C上的一元运算。,可以用、等符号表示二元或一元运算，称为算符。设f:SSS是S上的二元运算，对任意的x,yS，如果x与y的运算结果为z，即f()z，可以利用算符简记为xy=z。对一元运算，x的运算结果记作x。例题设R为实数集合，如下定义R上的二元运算：x,yR，xy=x。那么34=3，0.5(3)=0.5。,二元与一元运算的算符,函数的解析公式运算表（表示有穷集上的一元和二元运算）,二元与一元运算的表示,例9.4设S=1,2，给出P(S)上的运算和的运算表，其中全集为S。,解答,例9.4,例9.5设S=1,2,3,4，定义S上的二元运算如下：xy(xy)mod5，x,yS求运算的运算表。,解答,例9.5,定义9.3设为S上的二元运算，如果对于任意的x,yS都有xy=yx，则称运算在S上满足交换律。定义9.4设为S上的二元运算，如果对于任意的x,y,zS都有(xy)z=x(yz)，则称运算在S上满足结合律。说明：若+适合结合律，则有(x+y)+(u+v)x+y+u+v。定义9.5设为S上的二元运算，如果对于任意的xS有xx=x，则称运算在S上满足幂等律。如果S中的某些x满足xx=x，则称x为运算的幂等元。举例：普通的加法和乘法不适合幂等律。但0是加法的幂等元，0和1是乘法的幂等元。,二元运算的性质,定义9.6设和*为S上两个二元运算，如果对于任意的x,y,zS，有x*(yz)(x*y)(x*z)（左分配律）(yz)*x(y*x)(z*x)（右分配律）则称运算对运算满足分配律。说明：若*对运算分配律成立，则*对运算广义分配律也成立。x*(y1y2yn)(x*y1)(x*y2)(x*yn)(y1y2yn)*x(y1*x)(y2*x)(yn*x)定义9.7设和*为S上两个可交换的二元运算，如果对于任意的x,yS，都有x*(xy)xx(x*y)x则称运算和满足吸收律。,二元运算的性质,定义9.8设为S上的二元运算，如果存在元素el（或er）S，使得对任意xS都有elx=x(或xer=x)则称el(或er)是S中关于运算的一个左单位元(或右单位元)。若eS关于运算既是左单位元又是右单位元，则称e为S上关于运算的单位元。单位元也叫做幺元。,运算可以没有左单位元和右单位元。运算可以只有左单位元。运算可以只有右单位元。运算可以既有左单位元，又有右单位元。,说明,二元运算中的特异元素单位元,二元运算中的特异元素零元,定义9.9设为S上的二元运算，如果存在元素l（或r）S，使得对任意xS都有lx=l(或xr=r)，则称l(或r)是S上关于运算的左零元(或右零元)。若S关于运算既是左零元又是右零元，则称为S上关于运算的零元。,运算可以没有左零元和右零元。运算可以只有左零元。运算可以只有右零元。运算可以既有左零元，又有右零元。,说明,二元运算中的特异元素逆元,定义9.10设为S上的二元运算，eS为运算的单位元，对于xS，如果存在yl（或yr）S使得ylxe（或xyre）则称yl（或yr）是x的左逆元（或右逆元）。若yS既是x的左逆元又是x的右逆元，则称y为x的逆元。如果x的逆元存在，则称x是可逆的。,运算可以没有左逆元和右逆元。运算可以只有左逆元。运算可以只有右逆元。运算可以既有左逆元，又有右逆元。,说明,特异元素的实例,定理9.1,定理9.1设为S上的二元运算，el、er分别为运算的左单位元和右单位元，则有el=er=e且e为S上关于运算的唯一的单位元。,eleler(er为右单位元)elerer(el为左单位元)所以el=er，将这个单位元记作e。假设e也是S中的单位元，则有e=ee=e所以，e是S中关于运算的唯一的单位元。,证明,定理9.2,定理9.2设为S上的二元运算，l和r分别为运算的左零元和右零元，则有l=r=且为S上关于运算的唯一的零元。,llr(r为左零元)lrr(l为右零元)所以l=r，将这个零元记作。假设也是S中的零元，则有=所以，是S中关于运算的唯一的零元。,证明,定理9.3,定理9.3设为S上的二元运算，e和分别为运算的单位元和零元，如果S至少有两个元素，则e。,用反证法。假设e=，则xS有xxex这与S中至少含有两个元素矛盾。所以，假设不成立，即e。,证明,定理9.4,定理9.4设为S上可结合的二元运算，e为该运算的单位元，对于xS，如果存在左逆元yl和右逆元yr，则有yl=yr=y且y是x的唯一的逆元。,由ylx=e和xyr=e，得,证明,yl=yle,令yl=yr=y，则y是x的逆元。,=yl(xyr),=(ylx)yr,=eyr,=yr,假若yS也是x的逆元，则,y=ye,=y(xy),=(yx)y,=ey,=y,所以y是x唯一的逆元，记作x1。,消去律,定义9.11设为S上的二元运算，如果对于任意的x,y,zS，满足以下条件：（1）若xyxz且x，则yz（左消去律）（2）若yxzx且x，则yz（右消去律）则称运算满足消去律。例如：整数集合上的加法和乘法都满足消去律。幂集P(S)上的并和交运算一般不满足消去律。,例9.6,例9.6对于下面给定的集合和该集合上的二元运算，指出该运算的性质，并求出它的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。（1）Z+，x,yZ+，x*ylcm(x,y)，即求x和y的最小公倍数。,解答,（1）*运算可交换、可结合、是幂等的。xZ+，x*1=x，1*x=x，1为单位元。不存在零元。只有1有逆元，是它自己，其他正整数无逆元。,思考：在运算表中，满足交换律、幂等律，具有零元、么元的表各具有什么特点。交换律的表沿主对角线对称。幂等律的表主对角线与每一行和每一列元素相同。有零元的表，当且仅当该元素所对应的行和列依次与该元素相同。有么元的表，当且仅当该元素所对应的行和列依次与运算表的行和列相同。A与b互逆，当且仅当以这两个元素为行和列的焦点出为么元。思考，虽然没有么元、零元或者逆元，但是否有左、右么元（零元、逆元）的存在？,例9.7,例9.7设A=a,b,c，A上的二元运算、如表所示。(1)说明、运算是否满足交换律、结合律、消去律和幂等律。(2)求出关于、运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。,运算满足交换律、结合律和消去律，不满足幂等律。单位元是a，没有零元，且a-1=a，b-1=c，c-1=b。运算满足交换律、结合律和幂等律，不满足消去律。单位元是a，零元是b，只有a有逆元，a-1=a。运算满足结合律和幂等律，不满足交换律和消去律。没有单位元，没有零元，没有可逆元。,解答,复习,分析,9.2代数系统,定义9.12非空集合S和S上k个一元或二元运算f1,f2,fk组成的系统称为一个代数系统，简称代数，记做。实例：、都是代数系统，其中+和分别表示普通加法和乘法。是代数系统，其中和分别表示n阶(n2)实矩阵的加法和乘法。是代数系统，其中和为并和交，为绝对补。,集合（规定了参与运算的元素）运算（只讨论有限个二元和一元运算）代数常数在定义代数系统的时候，如果把零元和单位元也作为系统的性质，称这些元素为该代数系统的特异元素或代数常数。有时为了强调某个代数系统是含有代数常数的系统，也可以把这些代数常数列到系统的表达式中。例如：代数系统。,代数系统的成分,列出所有的成分：集合、运算、代数常数（如果存在）例如，列出集合和运算，在规定系统性质时不涉及具有单位元的性质（无代数常数）例如，用集合名称简单标记代数系统例如在前面已经对代数系统作了说明的前提下，上述两个代数系统可以简记为Z,P(S),代数系统的表示,定义9.13如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数相同，且代数常数的个数也相同，则称这两个代数系统具有相同的构成成分，也称它们是同类型的代数系统。例如V1=V2=V1、V2是同类型的代数系统，因为它们都含有2个二元运算，2个代数常数。但是它们的运算性质不一样。,同类型的代数系统,定义9.14设V是代数系统，BS，如果B对f1,f2,fk都是封闭的，且B和S含有相同的代数常数，则称是V的子代数系统，简称子代数。简记为B。例如：N是的子代数，N也是的子代数。N0是的子代数，但不是的子代数。,子代数和原代数具有相同的成分，运算性质也相同，是同类型的代数系统，在许多方面与原代数非常相似，不过可能小一些。对于任何代数系统，其子代数一定存在。,说明,子代数,最大的子代数：就是V本身。最小的子代数：如果令V中所有代数常数构成的集合是B，且B对V中所有的运算都是封闭的，则B就构成了V的最小的子代数。平凡的子代数：最大和最小的子代数称为V的平凡的子代数。真子代数：若B是S的真子集，则B构成的子代数称为V的真子代数。,子代数的相关概念,例9.8设V=，令nZ=nz|zZ，n为自然数，则nZ是V的子代数。,任取nZ中的两个元素nz1和nz2(z1,z2Z)，则有nz1+nz2n(z1+z2)nZ即nZ对+运