《全等三角形》.ppt

全等三角形,2.5,如图是两组形状、大小完全相同的图形.用透明纸描出每组中的一个图形，并剪下来与另一个图形放在一起，它们完全重合吗？,（1）,（2）,（1）,（2）,我发现它们可以完全重合,我们把能够完全重合的两个图形叫作全等图形.,如图，ABC分别通过平移、旋转、轴反射后得到，问ABC与能完全重合吗？,根据平移、旋转和轴反射的性质，可知分别通过上述三个变换后得到的与ABC都可以完全重合，因此它们是全等图形.,能完全重合的两个三角形叫作全等三角形.,全等三角形中，互相重合的顶点叫作对应顶点，,互相重合的边叫作对应边，,互相重合的角叫作对应角.,例如，图（1）中的ABC和全等，,其中A与A，B与B，C与C是对应顶点；,记作：ABC.,AB与，BC与，CA与是对应边；,A与A，B与B，C与C是对应角.,（1）,全等用符号“”表示，读作“全等于”.,在表示两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上.,全等三角形的对应边相等；,全等三角形的对应角相等.,我们知道，能够完全重合的两条线段是相等的，能够完全重合的两个角是相等的，由此得到：,例如，,举例,例1如图，已知ABCDCB，AB=3，DB=4，A=60.,（1）写出ABC和DCB的对应边和对应角；（2）求AC，DC的长及D的度数.,解（1）AB与DC，AC与DB，,BC与CB是对应边；,A与D，ABC与DCB，,ACB与DBC是对应角.,AC=DB=4，DC=AB=3.,（2）AC与DB，AB与DC是全等三角形的对应边，,A与D是全等三角形的对应角，,D=A=60.,如图，已知ADFCBE，AD=4，BE=3，AF=6，A=20，B=120.,（1）找出它们的所有对应边和对应角；（2）求ADF的周长及BEC的度数.,解（1）AF与CE，AD与CB，,DF与BE是对应边；,A与C，AFD与CEB，,D与B是对应角.,（2）ADF的周长是13，BEC=40.,两个三角形满足什么条件就能全等呢？,下面我们就来探讨这个问题.,每位同学在纸上的两个不同位置分别画一个三角形，它的一个角为50，夹这个角的两边分别为2cm，2.5cm.将这两个三角形叠在一起，它们完全重合吗？由此你能得到什么结论？,我发现它们完全重合，我猜测：有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.,下面，我们从以下这几种情形来探讨这个猜测是否为真.,设在ABC和中，,（1）ABC和的位置关系如图.,将ABC作平移，使BC的像与重合，ABC在平移下的像为.,由于平移不改变图形的形状和大小，因此ABC,因为，,所以线段AB与重合，,因此点与点重合，,那么与重合，,所以与重合，,因此，,从而,（2）ABC和的位置关系如图（顶点B与顶点重合）.,因为，,将ABC作绕点B的旋转，旋转角等于，,所以线段BC的像与线段重合.,因为，,所以,由于旋转不改变图形的形状和大小，,又因为，,所以在上述旋转下，BA的像与重合，,从而AC的像就与重合，,于是ABC的像就是,因此ABC,（3）ABC和的位置关系如图.,根据情形（1），（2）的结论得,将ABC作平移，使顶点B的像和顶点重合，,因此,（4）ABC和的位置关系如图.,将ABC作关于直线BC的轴反射，,ABC在轴反射下的像为,由于轴反射不改变图形的形状和大小，,因此ABC,根据情形（3）的结论得，,因此,由此得到判定两个三角形全等的基本事实：,两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.,通常可简写成“边角边”或“SAS”.,例2已知：如图，AB和CD相交于O，且AO=BO，CO=DO.求证：ACOBDO.,举例,ACOBDO.（SAS）,1.如图，将两根钢条AA和BB的中点O连在一起，使钢条可以绕点O自由转动，就可做成测量工件内槽宽度的工具（卡钳）.只要量出的长，就得出工件内槽的宽AB.这是根据什么道理呢？,解ABOABO，,AB=AB.,2.如图，ADBC，AD=BC.问：ADC和CBA是全等三角形吗？为什么？,解ADBC,ADCCBA.,DAC=BCA，,又AD=BC，AC公共,3.已知：如图，AB=AC，点E，F分别是AC，AB的中点.求证：BE=CF.,解AB=AC,且E，F分别是AC，AB中点，,ABEACF，,AF=AE，,又A公共，,BE=CF.,如图，在ABC和中，如果BC=，B=B，C=C，你能通过平移、旋转和轴反射等变换使ABC的像与重合吗？那么ABC与全等吗？,类似于基本事实“SAS”的探究，同样地，我们可以通过平移、旋转和轴反射等变换使ABC的像与重合，因此ABC,由此得到判定两个三角形全等的基本事实：,两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.,通常可简写成“角边角”或“ASA”.,举例,例3已知：如图，点A，F，E，C在同一条直线上，ABDC，AB=CD，B=D.求证：ABECDF.,证明ABDC，,A=C.,在ABE和CDF中，,ABECDF（ASA）.,例4如图，为测量河宽AB，小军从河岸的A点沿着和AB垂直的方向走到C点，并在AC的中点E处立一根标杆，然后从C点沿着与AC垂直的方向走到D点，使D，E，B恰好在一条直线上.于是小军说：“CD的长就是河的宽.”你能说出这个道理吗？,举例,图3-35,B,E,C,D,A=C=90，,AE=CE，,AEB=CED(对顶角相等),AEBCED.（ASA）,AB=CD.(全等三角形的对应边相等),因此，CD的长就是河的宽度.,1.如图，工人师傅不小心把一块三角形玻璃打碎成三块，现要到玻璃店重新配一块与原来一样的三角形玻璃，只允许带其中的一块玻璃碎片去.请问应带哪块玻璃碎片去？为什么？,2.已知：如图，ABC，CF，分别是ACB和的平分线.求证：,证明：,ABCABC，,A=A,ACB=ACB.,AC=AC,证明：,CF=CF.,又CF，CF分别是ACB和ACB的平分线，,ACF=ACF.,ACFACF,如图，在ABC和中，如果A=A，B=B，那么ABC和全等吗？,根据三角形内角和定理，可将上述条件转化为满足“ASA”的条件，从而可以证明ABC,在ABC和中，,A=A，B=B，,C=C.,又，B=B，,(ASA).,由此得到判定两个三角形全等的定理：,两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.,通常可简写成“角角边”或“AAS”.,例5已知：如图，B=D，1=2，求证：ABCADC.,举例,证明1=2，,ACB=ACD（同角的补角相等）.,在ABC和ADC中，,ABCADC（AAS）.,例6已知：如图，点B，F，C，E在同一条直线上，ACFD，A=D，BF=EC.求证：ABCDEF.,举例,证明ACFD，,ACB=DFE.,BF=EC，,BF+FC=EC+FC，,即BC=EF.,在ABC和DEF中，,ABCDEF（AAS）.,1.已知：如图，1=2，AD=AE.求证：ADCAEB.,ADCAEB（AAS）.,2.已知：在ABC中，ABC=ACB，BDAC于点D，CEAB于点E.求证：BD=CE.,证明由题意可知BEC和BDC均为直角三角形，,在RtBEC和RtCDB中，,ABC=ACB，,BC=BC，,RtBECRtCDB（AAS）.,BEC=CDB=90，,如图，在ABC和中，如果，那么ABC与全等吗？,如果能够说明A=A，那么就可以由“边角边”得出ABC,将ABC作平移、旋转和轴反射等变换，使BC的像与重合，并使点A的像与点在的两旁，ABC在上述变换下的像为,由上述变换性质可知ABC，,则，,连接,1=2，3=4.,从而1+3=2+4，,，,即,在和中，,（SAS）.,ABC,由此可以得到判定两个三角形全等的基本事实：,三边分别相等的两个三角形全等.,通常可简写成“边边边”或“SSS”.,举例,例7已知：如图，AB=CD，BC=DA.求证：B=D.,ABCCDA.(SSS),B=D.,举例,例8已知：如图，在ABC中，AB=AC，点D，E在BC上，且AD=AE，BE=CD.求证：ABDACE.,证明BE=CD，,BE-DE=CD-DE.,即BD=CE.,在ABD和ACE中，,ABDACE（SSS）.,由“边边边”可知，只要三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小也就固定了，三角形的这个性质叫作三角形的稳定性.,三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用.,如日常生活中的定位锁、房屋的人字梁屋顶等都采用三角形结构，其道理就是运用三角形的稳定性.,1.如图，已知AD=BC，AC=BD.那么1与2相等吗？,答：相等.因为AD=BC，AC=BD，AB公共，所以ABDBAC(SSS).所以1=2(全等三角形对应角相等).,2.如图，点A，C，B，D在同一条直线上，AC=BD，AE=CF，BE=DF.求证：AECF，BEDF.,证明AC=BD，,AC+BC=BD+BC，,即AB=CD.,所以AECF，BEDF.,又AE=CF，BE=DF，,所以ABECDF(SSS).所以EAB=FCD,EBA=FDC(全等三角形对应角相等).,根据下列条件，分别画ABC和,（1），B=B=45；,满足上述条件画出的ABC和一定全等吗？由此你能得出什么结论？,满足条件的两个三角形不一定全等，由此得出：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等.,（2）A=A=80，B=B=30，C=C=70.,满足上述条件画出的ABC和一定全等吗？由此你能得出什么结论？,满足条件的两个三角形不一定全等，由此得出：三角分别相等的两个三角形不一定全等.,举例,例9已知：如图，AC与BD相交于点O，且AB=DC，AC=DB.求证：A=D.,证明连接BC.,在ABC和DCB中，,ABCDCB（SSS）.,A=D.,举例,例10某地在山区修建高速公路时需挖通一条隧道.为估测这条隧道的长度（如图），需测出这座山A，B间的距离，结合所学知识，你能给出什么好方法吗？,解选择某一合适的地点O，,使得从O点能测出AO与BO的长度.,这样就构造出两个三角形.,连接AO并延长至A，使；,连接BO并延长至B，使，,连接，,O,A,B,在AOB和中，,AOB（SAS）.,AB=,因此只要测出的长度就能得到这座山A，B间的距离.,1.已知：如图，AB=AD，BC=DC.求证：B=D.,证明如图，连接AC.,所以ACBACD(SSS).,所以B=D.,2.如图，在ABC和DEC中，已知一