高二数学导数的概念

第三章导数及其应用,3.1.2导数的概念,自由落体运动中，物体在不同时刻的速度是不一样的。,平均速度不一定能反映物体在某一时刻的运动情况。,物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。,解：设在3，3.1内的平均速度为v1，则,t1=3.1-3=0.1(s),s1=s(3.1)-s(3)=0.5g3.12-0.5g32=0.305g(m),所以,同理,例1是计算了3，3+t当t=0.1,t=0.01,t=0.001时的平均速度。,上面是计算了t0时的情况,下面再来计算t0时的情况,解：设在2.9，3内的平均速度为v4，则,t1=3-2.9=0.1(s),s1=s(3)-s(2.9)=0.5g32-0.5g2.92,=0.295g(m),所以,设在2.99，3内的平均速度为v5，则,设在2.999，3内的平均速度为v6，则,当t0时，物体的速度趋近于一个确定的值3g,在t=3s这一时刻的瞬时速度等于在3s到(3+t)s这段时间内的平均速度当t0的极限，,设物体的运动方程是s=s(t),物体在时刻t的瞬时速度为v,一般结论,就是物体在t到t+t这段时间内,当t0时平均速度的极限，即,让我们再来看一个例子,P,相切,相交,再来一次,例、,P,再来一次,设曲线C是函数y=f(x)的图象，在曲线C上取一点P及P点邻近的任一点Q(x0+x,y0+y),过P,Q两点作割线，则直线PQ的斜率为,上面我们研究了切线的斜率问题,可以将以上的过程概括如下：,当直线PQ转动时，Q逐渐向P靠近，也即x变小,当x0时，PQ无限靠近PT,因此：,一般地，函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是,上式称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作：或,即,注意：,1、函数应在点的附近有定义，否则导数不存在。,2、在定义导数的极限式中，x趋近于0可正、可负，但不为0，而y可能为0。,3、导数是一个局部概念，它只与函数在x0及其附近的函数值有关，与x无关。,4、若极限不存在，则称函数在点x0处不可导。,物体的运动方程s=s(t)在t0处的导数即在t0处的瞬时速度vt0,函数y=f(x)在x0处的导数即曲线在x0处的切线斜率,导数可以描述任何事物的瞬时变化率,瞬时变化率除了瞬时速度，切线的斜率,还有：点密度，国内生产总值(GDP)的增长率，经济学上讲的一切边际量等,例1、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第xh时，原油的温度(单位：)为f(x)=x2-7x+15(0x8).计算第2h和第6h时，原油温度的瞬进变化率，并说明它们的意义。,解：第2h和第6h时，原油温度的瞬进变化率就是f(2)和f(6),根据导数定义：,所以，,同理可得f(6)=5,f(x)=x2-7x+15,f(6)=5说明在第6h附近，原油温度大约以5/h的速度上升；,说明在第2h附近，原油温度大约以3/h的速度下降；,所以物体在时刻t0处的瞬时速度为v0-gt0.,由导数的定义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的方法是：,(2)求平均变化率,(3)取极限,得导数,(1)求函数的增量,练习2、质点按规律s(t)=at2+1做直线运动(位移单位：m,时间单位：s).若质点在t=2时的瞬时速度为8m/s,求常数a的值。,a=2,由导数的定义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的