圆锥曲线专题(求离心率的值、离心率的取值范围)

圆锥曲线专题圆锥曲线专题 求离心率的值求离心率的值 师生互动环节师生互动环节 讲课内容：讲课内容：历年高考或模拟试题关于离心率的求值问题分类精析与方法归纳点拨。 策略一：根据定义式求离心率的值策略一：根据定义式求离心率的值 在椭圆或双曲线中，如果能求出的值，可以直接代公式求离心率；如果不能得到ca、 的值，也可以通过整体法求离心率：椭圆中；双曲线中.ca、 2 2 1 a b a c e 2 2 1 a b a c e 所以只要求出值即可求离心率. a b 例 1.（20102010 年全国卷年全国卷 2 2）己知斜率为 1 的直线 与双曲线： 22 22 100 xy ab ab ，相交于lC 两点，且的中点为，求曲线的离心率.DB、BD)3 , 1 (MC 解析：解析：如图，设，则),(),( 2211 yxDyxB、 1 2 2 1 2 2 1 b y a x 1 2 2 2 2 2 2 b y a x -整理得0 )()( 2 2121 2 2121 b yyyy a xxxx 又因为为的中点，则，且，代入得)3 , 1 (MBD6, 2 2121 yyxx 21 xx ，解得，所以.1 3 2 2 21 21 a b xx yy kBD3 2 2 a b 2311 2 2 a b e 方法点拨：方法点拨：此题通过点差法建立了关于斜率与的关系，解得的值，从而整体代入求出 a b 2 2 a b 离心率 .当然此题还可以通过联立直线与曲线的方程，根据韦达定理可得，e),( 21 baxx 或者，从而解出的值，最后求得离心率.2),(ba),( 21 bayy6),(ba 2 2 a b 【同类题型强化训练同类题型强化训练】 1.（呼市二中模拟）已知中心在原点，焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，x032 yx 则双曲线的离心率为（ ）. 3 13 . A 2 13 .B 3 15 .C 2 10 .D 2.（衡水中学模拟）已知中心在原点，焦点在轴上的一椭圆与圆交于x 222 ) 1()2(ryx 两点，恰是该圆的直径，且直线的斜率，求椭圆的离心率.BA、ABAB 2 1 k 3.（母题）已知双曲线，双曲线上一动点到两条渐近线的距离乘积为)0( 1: 2 2 my m x CP ，求曲线的离心率. 2 1 C 【强化训练答案强化训练答案】 1.答案：答案：由双曲线焦点在上，则渐近线方程，又题设条件中的渐近线方程为x0aybx ，比较可得，则.032 yx 3 2 a b 3 13 9 4 11 2 2 a b e 2.答案：答案：设椭圆方程为，则)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x ),(),( 2211 yxByxA 1 2 2 1 2 2 1 b y a x 1 2 2 2 2 2 2 b y a x -整理得0 )()( 2 2121 2 2121 b yyyy a xxxx 因为恰是该圆的直径，故的中点为圆心，且ABAB) 1 , 2( 21 xx 则，代入式整理得2, 4 2121 yyxx 2 2 21 21 2 a b xx yy k 直线的斜率，所以，解得AB 2 1 k 2 12 2 2 a b k 4 1 2 2 a b 所以离心率. 2 3 4 1 11 2 2 a b a c e 3.答案：答案：曲线的渐近线方程分别为和，设，则C0: 1 ymxl0: 2 ymxl),( 00 yxP 点到直线 的距离，),( 00 yxP 1 l m ymx d 1 00 1 点到直线的距离，),( 00 yxP 2 l m ymx d 1 00 2 m myx m ymxymx dd 11 2 0 2 0 0000 21 因为在曲线上，所以，故，解得),( 00 yxPCmmyx 2 0 2 0 2 1 1 21 m m dd1m 所以.2e 策略二：构造策略二：构造的关系式求离心率的关系式求离心率ca, 根据题设条件，借助之间的关系，沟通的关系（特别是齐次式） ，进而得到cba,ca、 关于 的一元方程，从而解方程得出离心率 .ee 例 2.已知是双曲线的两焦点，以线段为边作正三角形 21,F F)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 21F F ，若边的中点在双曲线上，求双曲线的离心率. 21F MF 1 MFP 解析：解析：如图 1，的中点为，则点的横坐标为. 1 MFPP 2 c 由，cFFPF 211 2 1 焦半径公式aexPF p 1 有，a c a c c) 2 ( 即022 22 acac 有022 2 ee 解得，或（舍去）.31e31e 方法点拨：方法点拨：此题根据条件构造关于的齐次式，通过齐次式结合离心率的定义整理成ca, a c e 关于 的一元方程，从而解出离心率的值.注意解出的结果要做验证，取符合离心率的范围的e 结果：.), 1 (),1 , 0( 双曲线椭圆 ee 【同类题型强化训练同类题型强化训练】 1.（2011 新课标）已知直线 过双曲线的一个焦点，且与的对称轴垂直， 与交于、lCClCA 两点，为的实轴长的 2 倍，则的离心率为（ ）B|ABCC 2 3. A2.B3.C.D 2.（2008 浙江）若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为 3：2,则双曲线的1 2 2 2 2 b y a x 离心率是（ ） 3 5 . A.B.C3.D5 【同类题型强化训练答案同类题型强化训练答案】 1.答案：答案：依据题意，解得.a a ac AB2 22 22 2e 2.答案：答案：依据题意，整理得，所以.2:3)( : )( 22 c a c c a c 22 3ac 3 a c e 策略三：根据圆锥曲线的统一定义求离心率（第二定义）策略三：根据圆锥曲线的统一定义求离心率（第二定义） 由圆锥曲线的第二定义，知离心率 是动点到焦点的距离和动点到准线的距离之比，适e 用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题，即.e d MF 例 3.（2010 年辽宁卷）设椭圆的左焦点为，过点的直线与椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab FF 相交于两点，直线 的倾斜角为,求椭圆的离心率.CBA,l602AFFB C 解法一：解法一：作椭圆的左准线,过作的垂线，垂足为；过作的垂线，垂足为BAABA A BB B .过作的垂线，垂足为.如图 2. B BA A M 由图，由椭圆的第二定义，则 ，e AA AF e AF AAe BB BF e BF BB 1 2 : e BF e AF BBAABBAA2 且,所以是的中点AABMMA A 又因为直线 的倾斜角为，即，l6060AFxBAM 所以在中，,故.BAMRtAAAMAB 2 3 2 3 2 AB AB AA AF e 解法二：解法二：设，由题意知，. 1122 ( ,), (,)A x yB xy 1 0y 2 0y 直线 的方程为 ，其中.l3()yxc 22 cab 联立得 22 22 3(), 1 yxc xy ab 22224 (3)2 330abyb cyb 解得 22 12 2222 3(2 )3(2 ) , 33 b cab ca yy abab 因为，所以.2AFFB 12 2yy 即 22 2222 3(2 )3(2 ) 2 33 b cab ca abab 得离心率 . 2 3 c e a 方法点拨：方法点拨：该题对于课标地区选择第二种代数法处理，对于自主命题对圆锥曲线的第二定义 要求的地区，两种方法都可以给学生讲讲。对于方法一：需要清晰的思路，敏捷的思维，对 计算要求不高；对于方法二：对学生的计算能力有较高的要求，重在计算。 【同类题型强化训练同类题型强化训练】 1.（2010 全国卷二）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，过右焦点F且斜率为 (0)k k的直线与C相交于AB、两点若3AFFB ，则（ ）k 1 2 3 2. A.B.C.D 2.已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且FCBBFCD ，则的离心率为 .FDBF2C 【强化训练答案强化训练答案】 1. 答案：答案：设直线 为椭圆的右准线， 为离心率，过分别作,垂直于 ，leBA、A A B B l 为垂足，过作垂直于与，如图 3 所示，BA 、 BBEA A M 由椭圆第二定义，则 ,，由,得 e AF AA e BF BBFBAF3 e BF AA 3 所以， 3 3 2 1 4 2 cos eBFe BF AB AE BAE ，所以.故选.21 cos 1 tan 2 BAE BAE2kB 2.答案：方法一：答案：方法一：如图 4，, 22 |BFbca 作轴于点,则由，得,所以, 1 DDy D FDBF2 |2 |3 OFBF DDBD 33 | 22 DDOFc 即,由椭圆的第二定义得 3 2 D c x 22 33 |() 22 acc FDea ca 又由,得,整理得.| 2|BFFD 2 3 2 c ca a 22 320caac 两边都除以,得,解得. 2 a 2 320ee 1()e 舍去，或 2 3 e 方法二：方法二：设椭圆方程为：第一标准形式，分线段所成的比为 2，FBD ，带入 22 22 3022333 0 ; 122212222 c ccc ybxbybb xxxc yy ，. 22 22 91 1 44 cb ab 3 3 e 课时课时 2 2、离心率的取值范围、离心率的取值范围 一、师生互动环节一、师生互动环节 讲课内容：讲课内容：历年高考或模拟试题关于离心率的取值范围问题分类精析与方法归纳点拨。 策略一：利用曲线中变量的范围求离心率的范围策略一：利用曲线中变量的范围求离心率的范围 用曲线中变量的范围，在椭圆中，；在双曲线中 22 22 10 xy ab ab （）axa 中，或. 22 22 10,0 xy ab ab （）axax 例 1.设椭圆的左、右焦点分别为，如果椭圆上存在点， 22 22 10 xy ab ab （）FF 12 、P 使，求离心率 的取值范围. 12 90FPFe 解析：解析：设，又知，则),(yxP 12 0(0)FcFc(，) ， ，),( 1 ycxPF),( 2 ycxPF 因为，则，即 12 90FPFPFPF 21 0)( 2 21 ycxcxPFPF 所以 222 cyx 联立方程，消，解得 222 2 2 2 2 1 cyx b y a x y 2222 2 22 a ca b x ab 又因为，故， 12 90FPF 22 0ax 2222 2 22 0 a ca b a ab 即 解不等式，结合椭圆的离心率范围为，可得.) 1 , 0(e 2 1 2 e，） 方法点拨：方法点拨：由题知，根据限制条件用表示，即，然后代入不axacba,x),(cbax 等式，结合整理得关于的齐次不等式，从而求出离心率的取acbaa),( 222 cbaca, 值范围.当然此题解决的办法绝不止这一种，根据几何关系或基本不等式等都能很好的解决. 【同类题型强化训练同类题型强化训练】 1.（2007 湖南）设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线 12 FF， 22 22 1 xy ab 0ab 上存在点使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）,P 1 PF 2 F . A 2 0 2 ，.B 3 0 3 ，.C 2 1 2 ，.D 3 1 3 ， 2.(2008 福建)双曲线的两个焦点为,若为其上一点，且 22 22 1 xy ab )0, 0(ba 21 FF、P ,则双曲线离心率的取值范围为（ ） 21 2PFPF (1,3) (3,+) . A.B1,3.C.D3, 3.（2010 四川）椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆 22 22 1() xy ab ab Fx 上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是( )5*u.c o*mF . A 2 0, 2 .B 1 0,2 .C2 1,1 .D 1,1 2 【强化训练答案强化训练答案】 1. 答案：答案：如图, ,c c a AF 2 2 因为线段的中垂线过点，则 1 PF 2 F 22121 AFFFFF ,即，解得cFFPF2 212 c c a c 2 2), 3 3 e 又椭圆的离心率，综上.) 1 , 0(e 3 1 3 e ， 2.答案：答案：分别为左右焦点，设在双曲线的右支上，则 21 FF、),( 00 yxP ，aexPFaexPF 0201 , 由，则解得 21 2PFPF )(2 00 aexaex e a x 3 0 因为在双曲线的右支上，则，即，解得.),( 00 yxPax 0 a e a 3 31 e 3.答案：答案：由题意，椭圆上存在点，使得线段的垂直平分线过点，PAPF 即点到点与点的距离相等w_w w. k#s5_u.c o*mFPA 而 w_w_w.k* 22 ab FAc cc ,cacaPF 于是 即 2 b c ,caca w*又，故. 222 222 cacca cacac 1 1 1 2 c a cc aa 或 ) 1 , 0(e) 1 , 2 1 e 策略二：正、余弦定理在求离心率范围问题中的应用策略二：正、余弦定理在求离心率范围问题中的应用 例 1.已知为椭圆的焦点，为椭圆上一点，则椭 21 FF、)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x M,60 21 MFF 圆的离心率的范围为 . 解析：解析：如图,为椭圆上一点，设，则M),( 00 yxM 0201 ,exaMFexaMF 在中，由余弦定理，则 21F MF 2 1 2 60cos 21 2 21 2 2 2 1 MFMF FFMFMF aMFMF2 21 联立解得因为在椭圆中，则, 3 4 2 22 2 0 e ac x 22 0 0ax ，解不等式得. 2 2 22 3 4 0a e ac ) 1 , 2 1 e 方法点拨：方法点拨：根据正、余弦定理结合椭圆的焦半径公式，用表示，即，根据ca, 0 x),( 0 cax 变量解出离心率，但是此题要构成，故点不能在轴上，所以此acaa),( 21F MFMx 题结合椭圆的范围可求出离心率的范围.acaa),() 1 , 0(e 【自我评价自我评价】 1. 已知椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上存在点使)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x ) 0 , () 0 , ( 21 cFcF、P ，则该椭圆离心率的取值范围为 . 1221 sinsinFPF c FPF a 2. (衡水调研卷)从一块短轴长为的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的b2 取值范围是，则椭圆离心率的取值范围是 .4 ,3 22 bb 3.3.椭圆的焦点为，两条准线与轴的交点分别为，若 22 22 1(0) xy ab ab 1 F 2 FxMN， ，则该椭圆离心率的取值范围是（ ） 12 MNFF . A 1 0 2 ，.B 2 0 2 ，.C 1 1 2 ，.D 2 1 2 ， 【自我评价答案自我评价答案】 1.答案：答案：如图，在中，由正弦定理，则 21PF F 2 1 12 21 12 2 21 1 sin sin sinsinPF PF FPF FPF FPF PF FPF PF 又 c a FPF FPF FPF c FPF a 12 21 1221 sin sin sinsin 所以，且，则 2 2 2 1 )( cac aaca x exa exa PF PF c a axa ，解不等式得或（舍去）a cac aaca a 2 2) ( 12 e12 e 又椭圆的离心率，综上所述.) 1 , 0(e) 1 , 12(e 2.答案：答案：设椭圆的标准方程为)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 在第一象限内取点，由椭圆的参数方程知),( 00 yx) 2 0( sin cos 0 0 by ax 则椭圆的内接矩形长为，宽为，cos2asin2b 所以内接矩形面积为2sin2sincos4abab 面积的取值范围为，则4 ,3 22 bb 22 422sin23bababb 所以，即， 22 423babbbab423 不等式同时平方得，即且 222 1649bab)(164)(9 22222 caaca a c e 整理解得. 2 3 , 3 5 e 3.答案：答案：.D 【本课总结本课总结】 对于求离心率问题常常有以下办法 1.直接求出，或求出，代公式求解.ca, a b 2 2 2 2 11 a b a c e a b a c e 双曲线椭圆 ， 常见的与相关的一些题设条件： a b 设是椭圆的一条弦，且为弦的中点，则所在的AB)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x ),( 00 yxMABAB 直线方程的斜率； 0 2 0 2 ya xb kAB 设是双曲线的一条弦，且为弦的中点，则所在AB)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x ),( 00 yxMABAB 的直线方程的斜率； 0 2 0 2 ya xb kAB 双曲线的渐近线方程或.x a b yx b a y 2.构造关于的方程或不等式，利用离心率转化成关于 的一元方程或不等式求值或ca, a c e e 求范围. 3.根据圆锥曲线的第二定义（到定点的距离比上到定直线的距离等于离心率）可以 d MF e 求离心率的值. 4.根据正、余弦定理或借助于椭圆、双曲线的焦半径公式得到， （为曲线上),( 0 cbax 0 x 的点的横坐标） ，再根据曲线中的取值范围可求离心率的取值范围. 0 x 5.对于求离心率的范围问题，其本质在曲线中变量的范围，通过变量的范围构造不等式解不 等式即可. 圆锥曲线离心率家庭作业圆锥曲线离心率家庭作业 1.若双曲线的离心率是，则实数的值是（ ） 22 1xky2k . A3.B 1 3 .C3.D 1 3 2.椭圆（）的两个焦点分别为、，以、为边作正三角形，若 22 22 1 xy ab 0abF 2 F 1 F 2 F 椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率 为 （ ）e A B C D 31 2 314(23 ) 32 4 3.已知双曲线的左、右焦点分别为，若在双曲线的右支上存在)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 21,F F 一点，使得，则双曲线的离心率 的取值范围为 P 21 3PFPF e 4.已知双曲线（）的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线 1 2 2 2 y a x 0a xy6 2 的离心率为（ ） . A 2 3 .B 2 3 .C 2 6 .D 3 32 5.若椭圆经过原点，且焦点为、，则其离心率为（ ） 0 , 1 1 F0 , 3 2 F . A 4 3 .B 3 2 .C 2 1 .D 4 1 6.如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ） . A 2 3 .B 2 6 .C 2 3 .D2 7.点 P（-3，1）在椭圆（）的左准线上，过点且方向为的 1 2 2 2 2 b y a x 0 baP 5, 2 a 光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ） 2y . A 3 3 .B 3 1 .C 2 2 .D 2 1 8.已知、是双曲线（）的两焦点，以线段为边作正三角形 1 F 2 F 1 2 2 2 2 b y a x 0, 0ba 21F F ，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） 21F MF 1 MF . A324 .B 13 .C 2 13 .D 13 9.设双曲线（）的半焦距为 ，直线 过，两点.已知原点到1 2 2 2 2 b y a x ba 0cl0 , ab, 0 直线的距离为，则双曲线的离心率为( )c 4 3 . A2.B3.C2.D 3 32 10.双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为、，则双曲线的离心率M 1 F 2 F 0 21 120MFF 为（ ） . A3.B 2 6 .C 3 6 .D 3 3 11.设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为 1 F 2 F 2 FP 21PF F 等腰直角三角形，则椭圆的离心率是_。 12.设椭圆（）的右焦点为，右准线为，若过且垂直于轴的1 2 2 2 2 b y a x 0, 0ba 1 F 1 l 1 Fx 弦的长等于点到的距离，则椭圆的离心率是. 1 F 1 l 13.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为 ，则该椭 21 圆的离心率为（ ） . A 2 .B 2 2 .C 2 1 .D 4 2 14.设，则二次曲线的离心率的取值范围为（ ） 4 , 0 1tancot 22 yx A. B. C. D. 2 1 2 2 , 2 1 2 , 2 2 , 2 15.如图，已知梯形中，点分有向线段所成的比为，双曲线过ABCDCDAB2EAC 、三点，且以、为焦点当时，求双曲线离心率 的取值范围。CDEAB 4 3 3 2 e 【家庭作业参考答案家庭作业参考答案】 1.答案：答案：先将方程化成标准形式，然后确定、，再根据求出的值故选 2 a 2 b 2 2 2 1 b e a k.B 2.答案：答案：设点为椭圆上且平分正三角形一边的点，如图，P 由平面几何知识可得， 2112 |:|:| 1:3:2PFPFFF 所以由椭圆的定义及得： c e a ，故选 12 12 |22 31 2|31 FFc e aPFPF .B 3. 答案：答案：如图，由及双曲线第一定义 21 3PFPF 式，得： 12 | 2PFPFa ，又 1 | 3PFa 2 |PFa 12 | 2FFc 因为点在右支上运动，所以，P 1212 | |PFPFFF 得，即，又，故填42ac2 c a 1e 12e 4.答案：答案：抛物线的准线是，即双曲线的右准线，则 xy6 2 2 3 x 2 31 22 c c c a x ，解得，故选 0232 2 cc2c3a3 32 a c e .D 5.答案：答案：由、知 ，又椭圆过原点， 0 , 1 1 F0 , 3 2 F 132c1c1ca ，所以离心率.故选 3ca2a1c2 1 a c e .C 6.答案：答案：由题设，则，因此选2a62 c3c 2 3 a c e.C 7.答案：答案：由题意知，入射光线为，关于的反射光线（对称关系）为3 2 5 1xy2y ，则解得，则，故选0525yx 055 3 2 c c a 3a1c 3 3 a c e. A 8.答案：答案：如图，设的中点为，则的横坐标为， 1 MF PP2 c 由焦半径公式， aexPF p 1 即，得，解得 a c a c c 2 022 2 a c a c （舍去） ，故选 31 a c e 31.D 9.答案：答案：由已知，直线 的方程为，由点到直线的距离公式，得l0abaybx ，c ba ab 4 3 22 又, ,两边平方，得，整理得， 222 bac 2 34cab 4222 316caca016163 24 ee