基变换与坐标变换ppt课件

基变换与坐标变换,第六章线性空间,基变换与坐标变换,2线性空间的定义与简单性质,3维数基与坐标,4基变换与坐标变换,1集合映射,5线性子空间,7子空间的直和,8线性空间的同构,6子空间的交与和,基变换与坐标变换,主要内容,基变换,第四节基变换与坐标变换,坐标变换公式,举例,向量的形式意义及运算,基变换与坐标变换,我们知道，在n维线性空间V中，任意n个线性无关的向量都可取作线性空间V的一组基V中任一向量在某一组基下的坐标是唯一确定的，但是在不同基下的坐标一般是不同的因此在处理一些问题是时，如何选择适当的基使我们所讨论的向量的坐标比较简单是一个实际的问题为此我们首先要知道同一向量在不同基下的坐标之间有什么关系，即随着基的改变，向量的坐标是如何变化的.,基变换与坐标变换,2）,一、向量的形式意义及运算,3）,1）若有两组向量,为V中的一组向量，记作，称之为向量矩阵,给出定义：,定义1V为数域P上的n维线性空间，,1.定义,基变换与坐标变换,4）V为数域P上的n维线性空间，为,V中的一组向量，若,则记作,基变换与坐标变换,则记作,5）V为数域P上n维线性空间，；,为V中的两组向量，若,基变换与坐标变换,1),2.运算规律,基变换与坐标变换,2)；为V中的两组向量，,矩阵，则,；,；,；,基变换与坐标变换,二、基变换,为V中的一组线性无关向量，而,引理V为数域P上的n维线性空间，,则线性无关,基变换与坐标变换,1.定义,定义2设1,2,n与1,2,n是,n维线性空间V中两组基，它们的关系是,称(1)为基变换公式.,基变换与坐标变换,2.基变换公式的矩阵形式,为了写起来方便，我们引入一种形式的写法.,把基写成一个1n矩阵，于是(1)可写成如下矩,阵形式：,基变换与坐标变换,矩阵,称为由基1,2,n到1,2,n的过渡矩,阵.,由于1,2,n是线性无关的，所以过渡,矩阵A的列向量组线性无关，因此，过渡矩阵A,是可逆的.,基变换与坐标变换,注意:,1)基变换公式的矩阵形式是“形式的”.,因为,在这里把向量作为矩阵的元素，一般来说没有意义.,不过在这个特殊的情况下，这种约定的用法是不会,出毛病的.,2)过渡矩阵A的第j列(a1j,a2j,anj),就是第二组基向量j在第一组1,2,n下的,坐标.,基变换与坐标变换,3）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆,矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵,4）若由基过渡矩阵为A,则由基过渡矩阵为A-1.,5）若由基过渡矩阵为A,由基过渡矩阵为B，则,由基过渡矩阵为AB.,基变换与坐标变换,3.运算规律,设1,2,n和1,2,n是V中两个,向量组，A=(aij),B=(bij)是两个nn矩阵，则,1)(1,2,n)A)B=(1,2,n)(AB),2)(1,2,n)A+(1,2,n)B=(1,2,n)(A+B)；,3)(1,2,n)A+(1,2,n)A=(1+1,2+2,n+n)A.,基变换与坐标变换,定理2设Vn中的元素,在基1,2,n,系式(1),则有坐标变换公式,下的坐标为(x1,x2,xn)T.,下的坐标为(x1,x2,xn)T,在基1,2,n,若两个基满足关,三、坐标变换公式,基变换与坐标变换,证明：因,由于线性无关,故即有关系式(2).证毕,基变换与坐标变换,换公式(1).,两种坐标满足坐标变换公式(2),则两个基满足变,这个定理的逆命题也成立.,即若任一元素的,基变换与坐标变换,过渡矩阵的求法,下坐标，得到A的第j列(a1j,a2j,anj),可得到过渡矩阵A.,方法1：求出j（j=1,2,n）在旧基1,2,n,基变换与坐标变换,方法2：直接利用矩阵来计算.,基变换与坐标变换,方法3：利用矩阵的初等变换计算.,基变换与坐标变换,方法4：利用单位基计算.,基变换与坐标变换,例1在R2中旋转变换,四、举例,基变换与坐标变换,过渡矩阵其中,解：,并求向量在基下的坐标.,基变换与坐标变换,而，,基变换与坐标变换,基变换与坐标变换,在基下的坐标就是,设在基下的坐标为，则,所以在基下的坐标为,基变换与坐标变换,例3在Px4中取两个基,及,求由基1,2,n到1,2,n的过渡矩阵和坐标变换公式.,基变换与坐标变换,解将1,2,3,4用1,2,3,4表示.,其中,由,基变换与坐标变换,得,故过渡矩阵为A-1B，坐标变换公式为,基变换与坐标变换,用矩阵的初等变换求B-1A:,行变换,中的B变成E,则A即变成B-1A.,计算如下:,把矩阵(B|A),基变换与坐标变换,即得,基变换与坐标变换,例4在P3中求向量,在基,下的坐标.,基变换与坐标变换,解求向量在基1,2,3下的坐标,即,阵即得.,矩阵A实施初等行变换,使之成为行最简形矩,换来求解:,先构造矩阵A=(1,2,3,),再对,用基1,2,3表示向量.,用矩阵的初等行变,基变换与坐标变换,行变换,所以,则所求坐标为,基变换与坐标变换,小结,1.向量形式定义,2.基变换,3.坐标变换,基变换与坐标变换,的过渡矩阵，其中,练习,基变换与坐标变换,解：设,则有,或,，,基变换与坐标变换,从而有,基变换与坐标变换,