苏州市2017届初三上期中复习《压轴题》专题训练(一)含答案

初三数学期中复习压轴题专题训练（ 1） 1如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=x2+bx+c 过 A， B， C 三点，点 A 的坐标是（ 3， 0），点 C 的坐标是（ 0， 3），动点 P 在抛物线上 （ 1） b= ， c= ，点 B 的坐标为 ；（直接填写结果） （ 2）是否存在点 P，使得 以 直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由； （ 3）过动点 P 作 直 y 轴于点 E，交直线 点 D，过点 D 作 x 轴的垂线垂足 为 F，连接 线段 长度最短时，求出点 P 的坐标 2如图，抛物线 y= x2+bx+c 经过 A（ 1， 0）， B（ 3， 0）两点，且与 y 轴交于点 C，点D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴 x 轴于点 E，连接 （ 1）求经过 A， B， C 三点的抛物线的函数表达式； （ 2）点 P 是线段 一点，当 C 时，求点 P 的坐标； （ 3）在（ 2）的条件下，过点 P 作 x 轴于点 F， G 为抛物线上一动点， M 为 x 轴上一动点， N 为直线 一动点，当以 F、 M、 N、 G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点 3如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y= x+3 与 x 轴交于 A， B 两点（点 左侧），与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点为点 E （ 1）判断 形状，并说明理由； （ 2）经过 B， C 两点的直线交抛物线的对称轴于点 D，点 P 为直线 方抛物线上的一动点，当 面积最大时， Q 从点 P 出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点 M 处，再沿垂直于抛物 线对称轴的方向运动到 y 轴上的点 N 处，最后沿适当的路径运动到点 A 处停止当点 Q 的运动路径最短时，求点 N 的坐标及点 Q 经过的最短路径的长； （ 3）如图 2，平移抛物线，使抛物线的顶点 E 在射线 移动，点 E 平移后的对应点为点 E，点 A 的对应点为点 A，将 点 O 顺时针旋转至 位置，点 A， 1， 点 好落在 ，连接 A否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点 E的坐标；若不能，请说明理由 4已知二次函数 y= 2k+1） x+k2+k（ k 0） （ 1）当 k= 时，求这个二次函数的顶点坐标； （ 2）求证：关于 x 的一元次方程 2k+1） x+k2+k=0 有两个不相等的实数根； （ 3）如图，该二次函数与 x 轴交于 A、 B 两点（ A 点在 B 点的左侧），与 y 轴交于 C 点， P是 y 轴负半轴上一点，且 ，直线 点 Q，求证： 5已知抛物线 y=a（ x+3）（ x 1）（ a 0），与 x 轴从左至右依次相交于 A、 B 两点，与 ，经过点 A 的直线 y= x+b 与抛物线的另一个交点为 D （ 1）若点 D 的横坐标为 2，求抛物线的函数解析式； （ 2）若在第三象限内的抛物线上有点 P，使得以 A、 B、 P 为顶点的三角形与 似，求点 P 的坐标； （ 3）在（ 1）的条件下，设点 E 是线段 的一点（不含端点），连接 动点 Q 从点 B 出发，沿线段 每秒 1 个单位的速度运动到点 E，再沿线段 每秒 个单位的速度运动到点 D 后停止，问当点 E 的坐标是多少时，点 Q 在整个运动过程中所用时间最少？ 6若两条抛物线的顶点相同，则称它们为 “友好抛物线 ”，抛物线 2x+2 与 C2： x2+mx+n 为 “友好抛物线 ” （ 1）求抛物线 解析式 （ 2）点 A 是抛物线 在第一象限的动点，过 A 作 x 轴， Q 为垂足，求 Q 的最大值 （ 3）设抛物线 顶 点为 C，点 B 的坐标为（ 1， 4），问在 对称轴上是否存在点M，使线段 点 M 逆时针旋转 90得到线段 且点 B恰好落在抛物线 ？若存在求出点 M 的坐标，不存在说明理由 7如图 1，抛物线 y= a+3） x+3（ a 0）与 x 轴交于点 A（ 4， 0），与 y 轴交于点 B，在 x 轴上有一动点 E（ m， 0）（ 0 m 4），过点 E 作 x 轴的垂线交直线 点 N，交抛物线于点 P，过点 P 作 点 M （ 1）求 a 的值和直线 函数表达式； （ 2）设 周长为 周长为 = ，求 m 的值； （ 3）如图 2，在（ 2）条件下，将线段 点 O 逆时针旋转得到 旋转角为 （ 0 90），连接 EA、 EB，求 EA+ EB 的最小值 8如图 1，抛物线 y= x2+bx+c 经过 A（ 1， 0）， B（ 4， 0）两点， 与 y 轴相交于点 C，连结 P 为抛物线上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线 l，交直线 点 G，交 x 轴于点E （ 1）求抛物线的表达式； （ 2）当 P 位于 y 轴右边的抛物线上运动时，过点 C 作 直线 l， F 为垂足，当点 P 运动到何处时，以 P， C， F 为顶点的三角形与 似？并求出此时点 P 的坐标； （ 3）如图 2，当点 P 在位于直线 方的抛物线上运动时，连结 问 面积 S 能否取得最大值？若能，请求出最大面积 S，并求出此时点 P 的坐标，若不能，请说明理由 9如图，长方形 在 x 轴的正半轴上， y 轴的正半轴上，抛物线 y=（ 1， 4）和点 E（ 3， 0）两点 （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）若点 D 在线段 ，且 E，求 D 点的坐标； （ 3）在条件（ 2）下，在抛物线的对称轴上找一点 M，使得 周长为最小，并求 长的最小值及此时点 M 的坐标； （ 4）在条件（ 2）下，从 B 点到 E 点这段抛物线的图象上，是否存在一个点 P，使得 存在，请求出 积的最大值及此时 P 点的坐标；若 不存在，请说明理由 10如图，抛物线 y=bx+c 经过 三个顶点，与 y 轴相交于（ 0， ），点 A 坐标为（ 1， 2），点 B 是点 A 关于 y 轴的对称点，点 C 在 x 轴的正半轴上 （ 1）求该抛物线的函数关系表达式 （ 2）点 F 为线段 一动点，过 F 作 x 轴， y 轴，垂足分别为 E、 G，当四边形 正方形时，求出 F 点的坐标 （ 3）将（ 2）中的正方形 右平移，记平移中 的正方形 正方形 点 E 和点 C 重合时停止运动，设平移的距离为 t，正方形的边 于点 M， C 交于点 N，连接 否存在这样的 t，使 等腰三角形？若存在，求 t 的值；若不存在请说明理由 11如图，直线 y=5x+5 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 C，过 A， C 两点的二次函数 y=x+x 轴于另一点 B （ 1）求二次函数的表达式； （ 2）连接 N 是线段 的动点，作 x 轴交二次函数的图象于 点 D，求线段度的最大值； （ 3）若点 H 为二次函数 y=x+c 图象的顶点，点 M（ 4， m）是该二次函数图象上一点，在 x 轴、 y 轴上分别找点 F， E，使四边形 周长最小，求出点 F， E 的坐标 温馨提示：在直角坐标系中，若点 P， Q 的坐标分别为 P（ Q（ 当 行 x 轴时，线段 长度可由公式 出； 当 行 y 轴时，线段 长度可由公式 出 12如图，在平面直角坐标系 中， 三个顶点分别是 A（ 8， 3）， B（ 4， 0），C（ 4， 3）， 抛物线 y= x2+bx+c 经过点 C，且对称轴为 x= ，并与 y 轴交于点 G （ 1）求抛物线的解析式及点 G 的坐标； （ 2）将 x 轴向右平移 m 个单位，使 B 点移到点 E，然后将三角形绕点 E 顺时针旋转 得到 点 F 恰好落在抛物线上 求 m 的值； 连接 x 轴于点 H，连接 B 作 点 P，求证： H 13如图 1，二次函数 y= x2+bx+c 的图象过点 A（ 3， 0）， B（ 0， 4）两点，动点 P 从 线段 沿 AB 的方向以每秒 2 个单位长度的速度运动，过点 P 作 y 于点D，交抛物线于点 C设运动时间为 t（秒） （ 1）求二次函数 y= x2+bx+c 的表达式； （ 2）连接 t= 时，求 面积； （ 3）如图 2，动点 P 从 A 出发时，动点 Q 同时从 O 出发，在线段 沿 OA 的方向以1 个单位长度的速度运动当点 P 与 B 重合时， P、 Q 两点同时停止运动，连接 直线 叠得到 运动过程中，设 合部分的面积为 S，直接写出 S 与 t 的函数关系及 t 的取值范围 14如图，在 ， B=90，点 O 在边 ，以点 O 为圆心， 半径的圆经过点 C，过点 C 作直线 A （ 1）判断直线 O 的位置关系，并说明理由； （ 2）若 ， 0，求图中阴影部分的面积 15已知：如图， O 的切线， A 为切点，过 O 上一点 B 作 点 D， O 于点 C， 分 （ 1）求 度数； （ 2）当 O 的半径为 2 长 16如图， 接于 O， O 的直径， O 的切线， B 为切点， 足为 E，交 O 于 D，连接 （ 1）求证： 分 （ 2）若 O 的半径为 1， 长 17如图，在 ， C=90，点 O 在 ，经过点 A 的 O 与 切于点 D，与 别相交于点 E， F，连接 交于点 G （ 1）求证： 分 （ 2）若 点 H， 分 试判断 数量关系，并说明理由； 求 O 的半径 18如图，在 ， 0， O 是 上的一点，以 半径的 O 与边切于点 E （ 1）若 ， 3，求 O 的半径； （ 2）过点 E 作弦 M，连接 F=2 B，求证：四边形 菱形 19如图， O 的直径，点 C、 D 在 O 上， A=2 E 在 延长线上， 1）求证： O 相切； （ 2）若 ， ，求 O 的半径 20某蛋糕产销公司 A 品牌产销线， 2015 年的销售量为 份，平均每份获利 ，预计以后四年每年销售量按 5000 份递减，平均每份获利按一定百分数逐年递减；受供给侧改革的启发，公司早在 2014 年底就投入资金 元，新增一条 B 品牌产销线，以满足市场对蛋糕的多元需求， B 品牌产销线 2015 年的销售量为 份，平均每份获利 3 元，预计以后四年销售量按相同的份数递增，且平均每份获利按上述递减百分数的 2 倍逐年递增；这样， 2016 年， A、 B 两品牌产销线销售量总和将达到 份， B 品牌产销线 2017 年销售获利恰好等于当初的投 入资金数 （ 1）求 A 品牌产销线 2018 年的销售量； （ 2）求 B 品牌产销线 2016 年平均每份获利增长的百分数 21为了经济发展的需要，某市 2014 年投入科研经费 500 万元， 2016 年投入科研经费 720万元 （ 1）求 2014 至 2016 年该市投入科研经费的年平均增长率； （ 2）根据目前经济发展的实际情况，该市计划 2017 年投入的科研经费比 2016 年有所增加，但年增长率不超过 15%，假定该市计划 2017 年投入的科研经费为 a 万元，请求出 a 的取值范围 22在直角墙角 度不限） 中，要砌 20m 长的墙，与直角墙角 成地面为矩形的储仓，且地面矩形 面积为 96 （ 1）求这地面矩形的长； （ 2）有规格为 位： m）的地板砖单价分别为 55 元 /块和 80 元 /块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格的地板砖费用较少？ 23如图，一块长 5 米宽 4 米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面 积的 （ 1）求配色条纹的宽度； （ 2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价 200 元，其余部分每平方米造价 100 元，求地毯的总造价 24某地区 2014 年投入教育经费 2900 万元， 2016 年投入教育经费 3509 万元 （ 1）求 2014 年至 2016 年该地区投入教育经费的年平均增长率； （ 2）按照义务教育法规定，教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四，结合该地区国民生产总值的增长情况，该地区到 2018 年需投入教育经费 4250 万元，如果按（ 1）中教育经费投入的增长率，到 2018年该地区投入的教育经费是否能达到 4250万元？请说明理由 （参考数据： = = = = 25某地 2014 年为做好 “精准扶贫 ”，投入资金 1280 万元用于异地安置，并规划投入资 金逐年增加， 2016 年在 2014 年的基础上增加投入资金 1600 万元 （ 1）从 2014 年到 2016 年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？ （ 2）在 2016 年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于 500 万元用于优先搬迁租房奖励，规定前 1000 户（含第 1000 户）每户每天奖励 8 元， 1000 户以后每户每天补助 5元，按租房 400 天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？ 26已知在关于 x 的分式方程 和一元二次方程（ 2 k） 3 k） n=0中， k、 m、 n 均为实数，方程 的根为非负数 （ 1）求 k 的取值范围； （ 2）当方程 有两个整数根 k 为整数，且 k=m+2， n=1 时，求方程 的整数根； （ 3）当方程 有两个实数根 足 k） +k） =（ k）（ k），且 k 为负整数时，试判断 |m| 2 是否成立？请说明理由 27菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克 5 元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，的单价对外批发销售 （ 1）求平均每次下调的百分率； （ 2）小华准备到李伟处购买 5 吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择： 方案一：打九折销售； 方案二：不打折，每吨优惠现金 200 元 试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由 28广安市某楼盘准备以每平方米 6000 元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米 4860 元的均价开盘销售 （ 1）求平均每次下调的百分率 （ 2）某人准备以开盘价均价购 买一套 100 平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择： 打 销售； 不打折，一次性送装修费每平方米 80 元，试问哪种方案更优惠？ 29先阅读下列第（ 1）题的解答过程： （ 1）已知 a， 是方程 x 7=0 的两个实数根，求 2+4的值 解法 1： a， 是方程 x 7=0 的两个实数根， a 7=0， 2+2 7=0，且 a+= 2 2a， 2=7 2 2+4=7 2a+3（ 7 2） +4=28 2（ a+） =28 2 （ 2） =32 解法 2：由求根公式得 a=1+2 ， = 1 2 2+4=（ 1+2 ） 2+3（ 1 2 ） 2+4（ 1 2 ） =9 4 +3（ 9+4 ） 4 8 =32 当 a= 1 2 ， = 1+2 时，同理可得 2+4=32 解法 3：由已知得 a+= 2， 7 2=（ a+） 2 28 令 2+4=A， 2+3a=B A+B=4（ 2） +4（ a+） =4 18+4 （ 2） =64 A B=2（ 2 +4（ a） =2（ +a）（ a） +4（ a） =0 +，得 2A=64， A=32 请仿照上面的解法中的一种或自己另外寻注一种方法解答下面的问题： （ 2）已知 方程 x 9=0 的两个实数根，求代数式 66 的值 参考答案与解析 1（ 2016梅州）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=x2+bx+c 过 A， B， C 三点，点A 的坐标是（ 3， 0），点 C 的坐标是（ 0， 3），动点 P 在抛物线上 （ 1） b= 2 ， c= 3 ，点 B 的坐标为 （ 1， 0） ；（直接填写结果） （ 2）是否存在点 P，使得 以 直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由； （ 3）过动点 P 作 直 y 轴于点 E，交直线 点 D，过点 D 作 x 轴的垂线垂足为 F，连接 线段 长度最短时，求出点 P 的坐标 【分析】 （ 1）将点 A 和点 C 的坐标代入抛物线的解析式可求得 b、 c 的值，然后令 y=0 可求得点 B 的坐标； （ 2）分别过点 C 和点 A 作 垂线，将抛物线与 点先求得 解析式，然后可求得 解析式，最后再求得 抛物线的交点坐标即可； （ 3）连接 证明四边形 矩形，从而得到 F，然后根据垂线段最短可求得点 D 的纵坐标，从而得到点 P 的纵坐标，然后由抛物线的解析式可求得点 P 的坐标 【解答】 解：（ 1） 将点 A 和点 C 的坐标代入抛物线的解析式得： ，解得： b= 2， c= 3 抛物线的解析式为 y=2x 3 令 2x 3=0，解得： 1， 点 B 的坐 标为（ 1， 0） 故答案为： 2； 3；（ 1， 0） （ 2）存在 理由：如图所示： 当 0 由（ 1）可知点 A 的坐标为（ 3， 0） 设 解析式为 y=3 将点 A 的坐标代入得 3k 3=0，解得 k=1， 直线 解析式为 y=x 3 直线 解析式为 y= x 3 将 y= x 3 与 y=2x 3 联立解得 ， （舍去）， 点 坐标为（ 1， 4） 当 0时 设 解析 式为 y= x+b 将 x=3， y=0 代入得： 3+b=0，解得 b=3 直线 解析式为 y= x+3 将 y= x+3 与 y=2x 3 联立解得 2， （舍去）， 点 坐标为（ 2， 5） 综上所述， P 的坐标是（ 1， 4）或（ 2， 5） （ 3）如图 2 所示：连接 由题意可知，四边形 矩形，则 F 根据垂线段最短，可得当 ， 短，即 短 由（ 1）可知，在 ， A=3， D 是 中点 又 点 P 的纵坐标是 ，解得： 当 短时，点 P 的坐标是：（ ， ）或（ ， ） 【点评】 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、矩形的性质、垂线的性质，求得 解析式是解答问题（ 2）的关键，求得点 P 的纵坐标是解答问题（ 3）的关键 2（ 2016茂名）如图，抛物线 y= x2+bx+c 经过 A（ 1， 0）， B（ 3， 0）两点，且与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴 x 轴于点 E，连接 （ 1）求经过 A， B， C 三点的抛物 线的函数表达式； （ 2）点 P 是线段 一点，当 C 时，求点 P 的坐标； （ 3）在（ 2）的条件下，过点 P 作 x 轴于点 F， G 为抛物线上一动点， M 为 x 轴上一动点， N 为直线 一动点，当以 F、 M、 N、 G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点 【分析】 （ 1）利用待定系数法求出过 A， B， C 三点的抛物线的函数表达式； （ 2）连接 用公式求出顶点 D 的坐标，利用待定系数法求出直线 解析式，设出点 P 的坐标为（ x， 2x+6），利用勾股定 理表示出 据题意列出方程，解方程求出 x 的值，计算求出点 P 的坐标； （ 3）设点 M 的坐标为（ a， 0），表示出点 G 的坐标，根据正方形的性质列出方程，解方程即可 【解答】 解：（ 1） 抛物线 y= x2+bx+c 经过 A（ 1， 0）， B（ 3， 0）两点， ， 解得， ， 经过 A， B， C 三点的抛物线的函数表达式为 y= x+3； （ 2）如图 1，连接 x= = =1， 当 x=1 时， y=4， 点 D 的坐标为（ 1， 4）， 设直线 解析式为： y=mx+n， 则 ， 解得， ， 直线 解析式为 y= 2x+6， 设点 P 的坐标为（ x， 2x+6）， 则 3+2x 6） 2， x 1） 2+（ 2x+6） 2， E， 3+2x 6） 2=（ x 1） 2+（ 2x+6） 2， 解得， x=2， 则 y= 2 2+6=2， 点 P 的坐标为（ 2， 2）； （ 3）设点 M 的坐标为（ a， 0），则点 G 的坐标为（ a， a+3）， 以 F、 M、 N、 G 为顶点的四边形是正方形， G，即 |2 a|=| a+3|， 当 2 a= a+3 时， 整理得， 3a 1=0， 解得， a= ， 当 2 a=（ a+3）时， 整理得， a 5=0， 解得， a= ， 当以 F、 M、 N、 G 为顶点的四边形是正方形时，点 M 的坐标为（ ， 0），（ ，0），（ ， 0），（ ， 0） 【点评】 本题考查的是二次函数的图象和性质 、待定系数法求函数解析式以及正方形的性质，掌握二次函数的图象和性质、灵活运用待定系数法是解题的关键 3（ 2016重庆）如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y= x+3 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点为点 E （ 1）判断 形状，并说明理由； （ 2）经过 B， C 两点的直线交抛物线的对称轴于点 D，点 P 为直线 方抛物线上的一动点，当 面积 最大时， Q 从点 P 出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点 M 处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到 y 轴上的点 N 处，最后沿适当的路径运动到点 A 处停止当点 Q 的运动路径最短时，求点 N 的坐标及点 Q 经过的最短路径的长； （ 3）如图 2，平移抛物线，使抛物线的顶点 E 在射线 移动，点 E 平移后的对应点为点 E，点 A 的对应点为点 A，将 点 O 顺时针旋转至 位置，点 A， 1， 点 好落在 ，连接 A否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条 件的点 E的坐标；若不能，请说明理由 【分析】 （ 1）先求出抛物线与 x 轴和 y 轴的交点坐标，再用勾股定理的逆定理判断出 （ 2）先求出 S 大时，点 P（ ， ），然后判断出所走的路径最短，即最短路径的长为 N+长，计算即可； （ 3） A等腰三角形，分三种情况分别建立方程计算即可 【解答】 解：（ 1） 直角三角形， 当 y=0 时，即 x+3=0， ， A（ ， 0）， B（ 3 ， 0）， ， ， 当 x=0 时， y=3， C（ 0， 3）， ， 根据勾股定理得， 2， 6， 8， 3 （ ） 2=48， 直角三角形， （ 2）如图， B（ 3 ， 0）， C（ 0， 3）， 直线 析式为 y= x+3， 过点 P 作 y 轴， 设 P（ a， a+3）， G（ a， a+3）， a， 设点 D 的横坐标为 C 点的横坐标为 S （ （ a ） 2+ ， 0 a 3 ， 当 a= 时， S 大，此时点 P（ ， ）， 将点 P 向左平移 个单位至 P，连接 交 y 轴于点 N，过点 N 作 抛物线对称轴于点 M， 连接 Q 沿 PMNA 运动，所走的路径最短，即最短路径的长为 N+长， P（ ， ） P（ ， ）， 点 A（ ， 0）， 直线 解析式为 y= x+ ， 当 x=0 时， y= ， N（ 0， ）， 过点 P作 PH x 轴于点 H， ， PH= ， ， 点 Q 运动得最短路径长为 N+ = ； （ 3）在 ， = ， 0， 等边三角形， 0， 0， C=3， ， ）， 点 A（ ， 0）， E（ ， 4）， ， AE= ， 直线 解析式为 y= x+2， 设点 E（ a， a+2）， A（ a 2 ， 2） =（ a 2 ） 2+（ +2 ） 2= a+7， =（ a 2 ） 2+（ 2 ） 2= a+49， 若 则 = 即： a+7= a+49， a= ， E（ ， 5）， 若 AE， AE2 即： a+49=28， ， ， E（ ， 7+ ），或（ ， 7 ）， 若 EA=E EA2=E： a+7=28， ， （舍）， E（ ， 3+ ）， 即，符合条件的点 E（ ， 5），（ ， 7+ ），或（ ， 7 ），（ ， 3+ ） 【点评】 此题是二次函数综合题，主要考查了函数极值的确定方法，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，解本题的关键是分类讨论，也是解本题的难点 4（ 2016株洲）已知二次函数 y= 2k+1） x+k2+k（ k 0） （ 1）当 k= 时，求这个二次函数的顶点坐标； （ 2）求证：关于 x 的一元次方程 2k+1） x+k2+k=0 有两个不相等的实数根； （ 3）如图，该二次函数与 x 轴交于 A、 B 两点（ A 点在 B 点的左侧），与 y 轴交于 C 点， P是 y 轴负半轴上一点，且 ，直线 点 Q，求证： 【分析】 （ 1）直接将 k 的值代入函数解析式，进而利用配方法求出顶点坐标； （ 2）利用根的判别式得出 =1，进而得出答案； （ 3）根据题意首先表示出 Q 点坐标，以及表示出 长，再利用两点之间距离求出 长，进而求出答案 【解答】 解：（ 1）将 k= 代入二次函数可求得， y=2x+ =（ x 1） 2 ， 故抛物线的顶点坐标为：（ 1， ）； （ 2） 一元次方程 2k+1） x+k2+k=0， =4（ 2k+1） 2 4（ k2+k） =1 0， 关于 x 的一元次方程 2k+1） x+k2+k=0 有两个不相等的实数根； （ 3）由题意 可得：点 P 的坐标为（ 0， 1）， 则 0= 2k+1） x+k2+k 0=（ x k 1）（ x k）， 故 A（ k， 0）， B（ k+1， 0）， 当 x=0，则 y=k2+k， 故 C（ 0， k2+k） 则 AB=k+1 k=1， OA=k， 可得 ， kx+k2+k， 当 x 1= kx+k2+k， 解得： x=k+ ， 则代入原式可得： y= ， 则点 Q 坐标为 运用距离公式得： ） 2+（ ） 2= ， 则 ， 故 + = +1= = ， 则 【点评】 此题主要考查了二次函数综合以及根的判别式和配方法求二次函数顶点坐标和两点之间距离求法等知识，正确表示出 Q 点坐标是解题关键 5（ 2016随州）已知抛物线 y=a（ x+3）（ x 1）（ a 0），与 x 轴从左至右依次相交于 A、 y 轴相交于点 C，经过点 A 的直线 y= x+b 与抛物线的另一个交点为 D （ 1）若点 D 的横坐标为 2，求抛物线的函数解析式； （ 2）若在第三象限内的抛物线上有点 P，使得以 A、 B、 P 为顶点的三角形与 似，求点 P 的坐标； （ 3）在（ 1）的条件下，设点 E 是线段 的一点（不含端点），连接 动点 Q 从点 B 出发，沿线段 每秒 1 个单位的速度运动到点 E，再沿线段 每秒 个单位的速度运动到点 D 后停止， 问当点 E 的坐标是多少时，点 Q 在整个运动过程中所用时间最少？ 【分析】 （ 1）根据二次函数的交点式确定点 A、 B 的坐标，进而求出直线 解析式，接着求出点 D 的坐标，将 D 点坐标代入抛物线解析式确定 a 的值； （ 2）由于没有明确说明相似三角形的对应顶点，因此需要分情况讨论： （ 3）作 x 轴交抛物线于 M，作 x 轴于 N，作 F，根据正切的定义求出 Q 的运动时间 t=F 时， t 最小即可 【解答】 解：（ 1） y=a（ x+3）（ x 1）， 点 A 的坐标为（ 3， 0）、点 B 两的坐标为（ 1， 0）， 直线 y= x+b 经过点 A， b= 3 ， y= x 3 ， 当 x=2 时， y= 5 ， 则点 D 的坐标为（ 2， 5 ）， 点 D 在抛物线上， a（ 2+3）（ 2 1） = 5 ， 解得， a= ， 则抛物线的解析式为 y= （ x+3）（ x 1） = 2 x+3 ； （ 2） 如图 1 中，作 x 轴于 H，设点 P 坐标（ m， n）， 当 ， = ， = ，即 n= a（ m 1）， 解得 m= 4 或 1（舍弃）， 当 m= 4 时， n=5a， = ， C 42= ， 解得 a= 或 （舍弃）， 则 n=5a= ， 点 P 坐标（ 4， ） 当 ， = ， = ， n= 3a（ m 1）， ， 解得 m= 6 或 1（舍弃）， 当 m= 6 时， n=21a， = ，即 C 42= ， 解得 a= 或 （不合题意舍弃）， 则点 P 坐标（ 6， ）， 综上所述，符合条件的点 P 的坐标（ 4， ）和（ 6， ） （ 3）如图 2 中，作 x 轴交抛物线于 M，作 x 轴于 N，作 F， 则 = = ， 0， 0， = Q 的运动时间 t= + =F， 当 线时， t 最小， 则 时点 E 坐标（ 1， 4 ） 【点评】 本题考查的是二次函数知识的综合运用，掌握二次函数的性质、二次函数的交点式、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，解答时，注意分情况讨论讨论，属于中考压轴题 6（ 2016大庆）若两条抛物线的顶点相同，则称它们为 “友好抛物线 ”，抛物线 2x+2 与 x2+mx+n 为 “友好抛物线 ” （ 1）求抛物线 解析式 （ 2）点 A 是抛物线 在第一象限的动点，过 A 作 x 轴， Q 为垂足，求 Q 的最大值 （ 3）设抛物线 顶点为 C，点 B 的坐 标为（ 1， 4），问在 对称轴上是否存在点M，使线段 点 M 逆时针旋转 90得到线段 且点 B恰好落在抛物线 ？若存在求出点 M 的坐标，不存在说明理由 【分析】 （ 1）先求得 点坐标，然后依据两个抛物线的顶点坐标相同可求得 m、 n 的值； （ 2）设 A（ a， a+3）则 OQ=x， a+3，然后得到 Q 与 a 的函数关系式，最后依据配方法可求得 Q 的最值； （ 3）连接 点 B作 BD 足为 D接 下来证明 由全等三角形的性质得到 D， D，设点 M 的坐标为（ 1， a）则用含 a 的式子可表示出点 B的坐标，将点 B的坐标代入抛物线的解析式可求得 a 的值，从而得到点 M 的坐标 【解答】 解：（ 1） 2x+2= 2（ x 1） 2+4， 抛物线 顶点坐标为（ 1， 4） 抛物线 点相同， =1， 1+m+n=4 解得： m=2， n=3 抛物线 解析式为 x+3 （ 2） 如图 1 所示： 设点 A 的坐标为（ a， a+3） a+3， OQ=a， Q= a+3+a= a+3= （ a ） 2+ 当 a= 时 ， Q 有最大值 ， 最大值为 （ 3）如图 2 所示；连 接 点 B作 BD 足为 D B（ 1， 4）， C（ 1， 4），抛物线的对称轴为 x=1， 90， B0 BD + B0 = 在 ， ， D， D 设点 M 的坐标为（ 1， a）则 BD= a， B=2 点 B的坐标为（ a 3， a 2） （ a 3） 2+2（ a 3） +3=a 2 整理得： 7a 10=0 解得 a=2，或 a=5 当 a=2 时， M 的坐标为（ 1， 2）， 当 a=5 时， M 的坐标为（ 1， 5） 综上所述当点 M 的坐标为（ 1， 2）或（ 1， 5）时， B恰好落在抛物线 【点评】 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的顶点坐标公式、二次函数的图象和性质、全等三角形的性质和判定、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，用含 a 的式子表示点 B的坐标是解 题的关键 7（ 2016济南）如图 1，抛物线 y= a+3） x+3（ a 0）与 x 轴交于点 A（ 4， 0），与 ，在 x 轴上有一动点 E（ m， 0）（ 0 m 4），过点 E 作 x 轴的垂线交直线 点 N，交抛物线于点 P，过点 P 作 点 M （ 1）求 a 的值和直线 函数表达式； （ 2）设 周长为 周长为 = ，求 m 的值； （ 3）如图 2，在（ 2）条件下，将线 段 点 O 逆时针旋转得到 旋转角为 （ 0 90），连接 EA、 EB，求 EA+ EB 的最小值 【分析】 （ 1）令 y=0，求出抛物线与 x 轴交点，列出方程即可求出 a，根据待定系数法可以确定直线 析式 （ 2）由 出 = ，列出方程即可解决问题 （ 3） 在 y 轴上 取一点 M 使得 ，构造相似三角形，可以证明 是 EA+ EB 的最小值 【解答】 解：（ 1）令 y=0，则 a+3） x+3=0， （ x+