华师大八年级上《第13章全等三角形》单元测试含答案解析

第 1页（ 共 50页） 第 13 章 全等三角形 一、选择题 1如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（ ） A同位角相等，两直线平行 B内错角相等，两直线平行 C两直线平行，同位角相等 D两直线平行，内错角相等 2如图，小敏做了一个角平分仪 中 D， C将仪器上的点 重合，调整 D，使它们分别落在角的两边上，过点 A， E， 角平分仪的画图原理是： 根据仪器结构，可得 样就有 说明这两个三角形全等的依据是（ ） A 数学活动课上，四位同学围绕作图问题： “ 如图，已知直线 l和 ，用直尺和圆规作直线 ” 分别作出了下列四个图形其中作法错误的是（ ） A B C D 第 2页（ 共 50页） 4如图，在 0 ，分别以点 为圆心，以相同的长（大于 半径作弧，两弧相交于点 ，作直线 ，交 点 E，连接 列结论错误的是（ ） A D B D C A= 如图，在平面直角坐标系中，以点 当长为半径画弧，交 ，交 ，再分别以点 M、 于 弧在第二象限交于点 P，若点 6a，2b 1），则 a和 ） A 6a 2b=1 B 6a+2b=1 C 6a b=1 D 6a+b=1 6如图，用尺规作图： “ 过点 N ，其作图依 据是（ ） A同位角相等，两直线平行 B内错角相等，两直线平行 C同旁内角相等，两直线平行 D同旁内角互补，两直线平行 7如图，已知在 0 ，点 C 边的中点，分别以 B、 于线段弧在直线 方的交点为 P，直线 点 E，连接 下列结论： A= 分 一定正确的是（ ） 第 3页（ 共 50页） A B C D 8如图，分别以线段 ， 于 弧相交于 B， 接 下结论： 直平分 分 D ； 四边形 其中正确的有（ ） A B C D 9观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（ ） A B B C点 A、 Q 的距离不相等 D 0如图，下面是利用尺规作 用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（ ） 作法： 以 当长为半径画弧，分别交 ， E； 第 4页（ 共 50页） 分别以 D， 于 弧在 ； 画射线 线 是 A 、填空题（共 4小题） 11阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 小芸的作法如下： 老师说： “ 小芸的作法正确 ” 请回答：小芸的作图依据是 12如图，在 按以下步骤作图： 分别以 B， 大于 长为半径作弧，两弧相交于 M， 作直线 ，连接 C， B=25 ，则 第 5页（ 共 50页） 13如图，在 C， B=70 ，分别以点 A、 于 弧相交于点 M、 N，作直线 别交 、 E，连 结 14如图， D、 E、 接 ， ，则 三、解答题（共 16小题） 15课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图 （ 1）求证： （ 2）从三角板的刻度可知 5你帮小明求出砌墙砖块的厚度 （每块砖的厚度相等） 16根据图中尺规作图的痕迹，先判断得出结论： ，然后证明你的结论（不要求写已知、求证） 第 6页（ 共 50页） 17如图，一块余料 进行如下操作：以点 当长为半径画弧，分别交点 G， H；再分别以点 G， 于 弧在 ，画射线 （ 1）求证： E； （ 2）若 A=100 ，求 18如图， C 的中点 （ 1）作图： 过 C 的平行线 过 H 的垂线，分别交 ， F， G （ 2）在图中找出一对全等的三角形，并证明你的结论 19某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的： 在河流的一 条岸边 对岸正对的一棵树 A； 沿河岸直走 20 步有一树 C，继续前行 20步到达 从 到达 树遮挡住的 测得 B 请你证明他们做法的正确性 第 7页（ 共 50页） 20如图，在 C=60 ， A=40 （ 1）用尺规作图作 ，交 （保留作图痕迹，不要求写作法和证明）； （ 2）求证： 21如图， 一条对角线 （ 1）作 F，分别交 、 F，垂足为点 O（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； （ 2）求证： F 22如图，点 A （ 1）作 E，交 点 E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； （ 2）在（ 1）的条件下，判断直线 直线 要求证明） 23如图，在 0 （ 1）用尺规在边 ，使 B（不写作法，保留作图痕迹） 第 8页（ 共 50页） （ 2）连接 度时， 分 24如图，在 上的中线， D 的中点，过点 ，连接 （ 1）求证： C； （ 2）若 判断四边形 证明你的结论 25（ 1）如图（ 1），已知：在 0 ， C，直线 ， 直线 m， 直线 m，垂足分别为点 D、 E 证明： D+ （ 2）如图（ 2），将（ 1）中的条件改为：在 C， D、 A、 且有 ，其中 为任意锐角或钝角请问结论 D+否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由 （ 3）拓展与应用：如图（ 3）， D、 、 A、 D、 A、 点 接 判断 形状 26一节数学课后，老师布置了一道课后练习题： 第 9页（ 共 50页） 如图，已知在 C， 0 ， ，点 P、 D，点 E，求证： （ 1）理清思路，完成解答（ 2） 本题证明的思路可用下列框图表示： 根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程 （ 2）特殊位置，证明结论 若 余条件不变求证： D （ 3）知识迁移，探索新知 若点 时，满足题中条件的点 C 上运动到点 D ，请直接写出 与 的数量关系（不必写解答过程） 27如图 1，将两个完全相同的三角形纸片 合放置，其中 C=90 ， B= E=30 （ 1）操作发 现 如图 2，固定 点 点 B 边上时，填空： 线段 ； 设 1， 2，则 2的数量关系是 第 10页（ 共 50页） （ 2）猜想论证 当 旋转到如图 3所示的位置时，小明猜想（ 1）中 2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了 C、 你证明小明的猜想 （ 3）拓展探究 已知 0 ，点 D=4， （如图 4）若在射线 ，使 S 直接写出相应的 28已知，点 B 上一动点（不与 A， 分别过 A， 足分别为 E， F， Q 为斜边 中点 （ 1）如图 1，当点 重合时， ， 数量关系式 ； （ 2）如图 2，当点 重合时，试判断 给予证明； （ 3）如图 3，当点 A（或 延长线上时，此时（ 2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明 29如图， C， 点 E， 点 D， 5 ， 于点 F，连接 （ 1）求证： （ 2）若 ，求 第 11页（ 共 50页） 30已知 、 以 A、 D、 E、 使 0 ，连接 （ 1）如图 1，当点 证： F ； F + （ 2）如图 2，当点 论 F+不成立，请写出 说明理由； （ 3）如图 3，当点 全图形，并直接写出 间存在的数量关系 第 12页（ 共 50页） 第 13 章 全等三角形 参考答案与试题解析 一、选择题 1如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（ ） A同位角相等，两直线平行 B内错角相等，两直线平行 C两直线平行，同位角相等 D两直线平行，内错角相等 【考点】作图 基本作图；平行线的判定 【分析】由已知可知 而得出同位角相等，两直线平行 【解答】解： 位角相等，两直线平行） 故选： A 【点评】此题主要考查了基本作图与平行线的判定，正确理解题目的含义是解决本题的关键 2如图，小敏做了一个角平分仪 中 D， C将仪器上的点 重合，调整 D，使它们分别落在角的两边上，过点 A， E， 角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得 样就有 说明这两个三角形全等的依据是（ ） 第 13页（ 共 50页） A 考点】全等三角形的应用 【分析】在 于 D， C，利用 而得到 【解答】解：在 ， 即 故选： D 【点评】本题考查了全等三角形的应用；这种设计，用 运 用性质，是全等三角形判定及性质的综合运用，做题时要认真读题，充分理解题意 3数学活动课上，四位同学围绕作图问题： “ 如图，已知直线 l和 ，用直尺和圆规作直线 ” 分别作出了下列四个图形其中作法错误的是（ ） A B C D 【考点】作图 基本作图 【分析】 A、根据作法无法判定 l； 第 14页（ 共 50页） B、以 到直线 l 的距离为半径画弧，交直线 l，于两点，再以两点为圆心，大于它们的长为半径画弧，得出其交点，进而作出判断； C、根据直径所对的圆周角等于 90 作出判断； D、根据全等三角形的判定和性质即可作出判断 【解答】解：根据分析可知， 选项 B、 C、 Q ；选项 Q 故选： A 【点评】此题主要考查了过直线外以及过直线上一点作已知直线的垂线，熟练 掌握基本作图方法是解题关键 4如图，在 0 ，分别以点 为圆心，以相同的长（大于 半径作弧，两弧相交于点 ，作直线 ，交 点 E，连接 列结论错误的是（ ） A D B D C A= 考点】作图 基本作图；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线 【分析】由题意可知： 以得出 D； 出 D；利用三角形的内角和得出 A= 为 A 60 ，得不出 D，无法得出D，则 此选择答案即可 【解答】解： D， 0 ； 0 ， D； A+ B= B+ 0 ， A= A 60 ， 第 15页（ 共 50页） 故选： D 【点评】此题考查了线段垂 直平分线的性质以及直角三角形的性质注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等 5如图，在平面直角坐标系中，以点 当长为半径画弧，交 ，交 ，再分别以点 M、 于 弧在第二象限交于点 P，若点 6a，2b 1），则 a和 ） A 6a 2b=1 B 6a+2b=1 C 6a b=1 D 6a+b=1 【考 点】作图 基本作图；坐标与图形性质 【分析】根据作图方法可得点 据角平分线的性质和第二象限内点的坐标符号可得 6a+2b 1=0，然后再整理可得答案 【解答】解：根据作图方法可得点 P到 则 ， 故 6a+2b 1=0（或 6a=2b 1）， 整理得： 6a+2b=1， 故选 B 【点评】此题主要考查了基本作图角平分线的做法以及坐标与图形的性质：点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在 两个方面： 到 x 轴的距离与纵坐标有关，到 距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号 6如图，用尺规作图： “ 过点 N ，其作图依据是（ ） 第 16页（ 共 50页） A同位角相等，两直线平行 B内错角相等，两直线平行 C同旁内角相等，两直线平行 D同旁内角互补，两直线平行 【考点】作图 基本作图；平行线的判定 【分析】根据两直线平行的判定方法得出其作图依据即可 【解答】解：如图所示： “ 过点 N ，其作图依据是：作出 O，则 故作图依据是：内错角相等，两直线平行 故选： B 【点评】此题主要考查了基本作图以及平行线判定，正确掌握作图基本原理是解题关键 7如图，已知在 0 ，点 C 边的中点，分别以 B、 于线段弧在直线 方的交点为 P，直线 点 E，连接 下列结论： A= 分 定正确的是（ ） A B C D 【考点】作图 基本作图；线段垂直平分线的性质 【专题】几何图形问题 【分析】根据作图过程得到 C，然后利用 C 的中点，得到 C，从而利用垂直平分线的性质对各选项进行判断即可 【解答】解：根据作图过程可知： P， C， 确； 第 17页（ 共 50页） 0 ， A， C， A= 分 确， 故正确的有 ， 故选： B 【点评】本题考查了基本作图的知识，解题的关键是了解如何作已知线段的垂直平分线，难度中等 8如图，分别以线段 ， 于 弧相交于 B， 接 下结论： 直平分 分 D ； 四边形 其中正确的有（ ） A B C D 【考点】作图 基本作图；线段垂直平分线的性质；中心对称图形 【分析】根据线段垂直平分线的作法及中心对称图形的性质进行逐一分析即可 【解答】解： 分别以线段 两个端点 A， 于 C， C，故此小题正确； 在 第 18页（ 共 50页） ， 此小题正确； 只有当 0 时， D，故本小题错误； C=D， 四边形 四边形 此小题正确 故选 C 【点评】本题考查的是作图基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键 9观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（ ） A B B C点 A、 Q 的距离不相等 D 考点】作图 基本作图 【分析】根据角平分线的作法进行解答即可 【解答】解： 由图可知， A， B， B， 点 A、 故选 C 【点评】本题考查的是作图基本作图，熟知角平分线的作法及性质是解答此题的关键 10如图，下面是利用尺规作 用尺规作角平分线过程中，用到的三角 形全等的判定方法是（ ） 作法： 第 19页（ 共 50页） 以 当长为半径画弧，分别交 ， E； 分别以 D， 于 弧在 ； 画射线 线 是 A 考点】作图 基本作图；全等三角形的判定 【分析】根据作图的过程知道： D， C， D，所以由全等三角形的判 定定理 【解答】解：如图，连接 根据作图的过程知， 在 ， 故选： C 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：三角形全等的判定定理有 二、填空题 11阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 第 20页（ 共 50页） 小芸的作法如下： 老师说： “ 小芸的作法正确 ” 请回答：小芸的作图依据是 到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线 【考点】作图 基本作图 【专题】作图题；压轴题 【分析】通过作图得到 B， B，则可根据线段垂直平分线定理的逆定理判断 【解答】解： B， B， B（到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线） 故答案为：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线 【点评】本题考查了基本作图：基本作图有：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线 12如图，在 以下步骤作图： 分别以 B， 大于 长为半径作弧，两弧相交于 M， 作直线 ，连接 C， B=25 ，则 105 第 21页（ 共 50页） 【考点】作图 基本作图；线段垂直平分线的性质 【分析】首先根据题目中的作图方法确定 后利用垂直平分线的性质解题即可 【解答】解：由题中作图方法知道 线段 D， B=25 ， B=25 ， 0 ， C， A= 0 ， 0 ， 0 +25=105 ， 故答案为： 105 【点评】本题考查 了基本作图中的垂直平分线的作法及线段的垂直平分线的性质，解题的关键是了解垂直平分线的做法 13如图，在 C， B=70 ，分别以点 A、 于 弧相交于点 M、 N，作直线 别交 、 E，连结 50 【考点】作图 基本作图；等腰三角形的性质 【分析】由作图可知， 线段 可得出结 论 第 22页（ 共 50页） 【解答】解： 由作图可知， 线段 垂直平分线， E， C= C， B=70 ， C=40 ， 0 ， 故答案为： 50 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，熟知线段垂直平分线的性质是解答此题的关键 14如图， D、 E、 接 ， ，则 2 【考 点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质 【专题】计算题；压轴题 【分析】连结 据等边三角形的性质，由 等边三角形得到 B=6， A=60 ，再根据点 D、 E、 D=， ， 中位线，于是可判断 到 0 ，利用三角形中位线的性质得 ，根据平行线性质得 1+ 3=60 ；又由于 2+ 3=60 ， Q，所以 1= 2，然后根据 “判断 以 E=2 【解答】解：连结 ， B=6， A=60 ， 点 D、 E、 ， ， D=， B 1=2， 第 23页（ 共 50页） ， 等边三角形， 0 ， 1+ 3=60 ， 形， 2+ 3=60 ， Q， 1= 2， 在 ， E， ， 故答案为： 2 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有 “、 “、 “、“；全等三角形的对应边相等也考查了等边三角形的判定与性质 三、解答题 15课间，小明拿着老师的等 腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图 （ 1）求证： （ 2）从三角板的刻度可知 5你帮小明求出砌墙砖块的厚度 块砖的厚度相等） 第 24页（ 共 50页） 【考点】全等三角形的应用；勾股定理的应用 【专题】几何图形问题 【分析】（ 1）根据题意可得 C， 0 ， 而得到 0 ，再根据等角的余角相等可得 证明 （ 2）由题意得： a， a，根据全等可得 E=3a，根据勾股定理可得（ 4a） 2+（ 3a） 2=252，再解即可 【解答】（ 1）证明：由题意得： C， 0 ， 0 0 ， 0 ， 在 ， （ 2）解：由题意得： 一块墙砖的厚度为 a， a， a， 由（ 1）得： E=3a， 在 （ 4a） 2+（ 3a） 2=252， a 0， 解得 a=5， 答：砌墙砖块的厚度 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，以及勾股定理的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件 16根据图中尺规作图的痕迹，先判断得出结论： 然后证明你的结论（不要求写已知、求证） 第 25页（ 共 50页） 【考点】作图 基本作图；全等三角形的判定与性质 【专题】作图题 【分析】根据图中尺规作图的痕迹可知， D， M，根据全等三角形的判定和性质得到答案 【解答】解：结论： 证明：由作图的痕迹可知， D， M， 在 ， 【点评】本题考查的是角平分线的作法和全等三角形的判定和性质，掌握基本尺规作图的步骤和全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键 17如图，一块余 料 进行如下操作：以点 当长为半径画弧，分别交点 G， H；再分别以点 G， 于 弧在 ，画射线 （ 1）求证： E； （ 2）若 A=100 ，求 【考点】作图 基本作图；等腰三角形的判定与性质 第 26页（ 共 50页） 【分析】（ 1）根据平行线的性质，可得 据角平分线的性 质，可得 据等腰三角形的判定，可得答案； （ 2）根据三角形的内角和定理，可得 据平行线的性质，可得答案 【解答】（ 1）证明： 由 E； （ 2）由 A=100 ， 0 由 0 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，利用了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定 18如图， C 的中点 （ 1）作图： 过 C 的平行线 过 H 的垂线，分别交 ， F， G （ 2）在图中找出一对全等的三角形，并证明你的结论 【考点】作图 基本作图；全等三角形的判定；等边三角形的性质 【分析】（ 1）根据平行线及垂线的作法画图即可； （ 2）根据 【解答】解：（ 1）作图如下： 如图 1； 如图 2： 第 27页（ 共 50页） （ 2） 明： 又 C 中点， B 在 ， 【点评】本题考查的是作图基本作图，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键 19某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的： 在河流的一条岸边 对岸正对的一棵树 A； 沿河岸直走 20 步有一树 C，继续前行 20步到达 从 到达 树遮挡住的 测得 B 请你证明他们做法的正确性 【考点】全等三角形的应用 第 28页（ 共 50页） 【分析】将题目中的实际问题转化为数学问题，然后利用全等三角形的判定方法证得两个三角形全等即可说明其做法的正确性 【解答】证明：如图，由做法知： 在 t D 即他们的做法是正确的 【点评】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题 20如图，在 C=60 ， A=40 （ 1）用尺规作图作 ，交 （保留作图痕迹，不要求写作法和证明）； （ 2）求证： 【考点】作图 基本作图；线段垂直平分线的性质 【专题】作图题 【分析】（ 1）分别以 A、 B 两点为圆心，以大于 度为半径画弧，在 后过这两点作直线即为 垂直平分线； （ 2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的内角和证明即可 【解答】解：（ 1）如图 1所示： 第 29页（ 共 50页） （ 2）连接 图 2所示： C=60 ， A=40 ， 0 ， A= 0 ， 【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质及三角形的内角和及基本作图，解题的关键是了解垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 21如图， 一条对角线 （ 1）作 F，分别交 、 F，垂足为点 O（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； （ 2）求证： F 【考点】作图 基本作图；线段垂直平分线的性质；矩形的性质 【专题】作图题； 证明题 【分析】（ 1）分别以 B、 D 为圆心，以大于 两点作直线即可得到线段 垂直平分线； （ 2）利用垂直平分线证得 【解答】解：（ 1）答题如图： 第 30页（ 共 50页） （ 2） 四边形 D， O， 在 ， F 【点评】本题考查了基本作图及全等三角形的判定与性质，了解基本作图是解答本题的关键，难度中等 22如图，点 A （ 1）作 E，交 点 E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； （ 2）在（ 1）的条件下，判断直线 直线 要求证明） 【考点】作图 基本作图；平行线的判定 【专题】作图题 【分析】（ 1）根据角平分线基本作图的作法作图即可； 第 31页（ 共 50页） （ 2）根据角平分线的性质可得 据三角形内角与外角的性质可得 A= 根据同位角相等两直线平行可得结论 【解答】解：（ 1）如图所示： （ 2） A， A= A= A= 【点评】此题主要考查了基本作图，以及平行线的判定，关键是正确画出图形，掌握同位角相等两直线平行 23如图，在 0 （ 1）用尺规在边 ，使 B（不写作法，保留作图痕迹） （ 2）连接 30 度时， 【考点】作图 基本作图；线段 垂直平分线的性质 【专题】作图题 【分析】（ 1）运用基本作图方法，中垂线的作法作图， 第 32页（ 共 50页） （ 2）求出 B，运用直角三角形解出 B 【解答】解：（ 1）如图， （ 2）如图， B， B， 如果 角平分线，则 B， 0 ， B=30 ， B=30 时， 故答案为： 30 【点评】本题主要考查了基本作图，角平分线的知识，解题的关键是熟记作图的方法及等边对等角的知识 24如图，在 上的中线， D 的中点，过点 ，连接 （ 1）求证： C； （ 2）若 判断四边形 证明你的结论 第 33页（ 共 50页） 【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；菱形的判定 【分析】（ 1）根据 出 D，即可得出答案； （ 2）得出四边形 据直角三角形斜边上中线性质得出 D，根据菱形的判定推出即可 【解答】（ 1）证明： 上的中线， E， D， 在 D， C （ 2）四边形 证明： C， 四边形 C， 平行四边形 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，主要考查学生的推理能力 第 34页（ 共 50页） 25（ 1）如图（ 1），已知：在 0 ， C，直线 ， 直线 m， 直线 m，垂足分别为点 D、 E 证明： D+ （ 2）如图（ 2），将（ 1）中的条件改为：在 C， D、 A、 且有 ，其中 为任意锐角或钝角请问结论 D+否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由 （ 3）拓展与应用：如图（ 3）， D、 、 A、 D、 A、