反常积分敛散性的判别ppt课件

反常积分敛散性的判别,2无穷积分的性质及收敛判别,一、无穷积分的性质,本节讨论无穷积分的性质,并用这些,性质得到无穷积分的收敛判别法.,二、非负函数无穷积分的收敛判别法,三、一般函数无穷积分的收敛判别法,反常积分敛散性的判别,收敛的充要条件是:,一、无穷积分的性质,证,极限的柯西准则,此等价于,反常积分敛散性的判别,性质1,为任意常数,则,即,根据反常积分定义,容易导出以下性质1和性质2.,反常积分敛散性的判别,性质2,反常积分敛散性的判别,h(x)在任意a,u上可积,且,证因为,收敛,由柯西准则的必要性,反常积分敛散性的判别,再由柯西准则的充分性,反常积分敛散性的判别,二、非负函数无穷积分的收敛判别法,上的非负函数f在任何,收敛的充要条件是:,反常积分敛散性的判别,非负函数f,g在任何有限区间a,u上可积,且,定理11.3(比较判别法)设定义在上的两个,增函数的收敛判别准则,存在满足,反常积分敛散性的判别,证,由非负函数无穷积分的判别法,第二个结论是第一个结论的逆否命题,因此也成立.,反常积分敛散性的判别,反常积分敛散性的判别,推论1设非负函数f和g在任何a,u上可积,且,反常积分敛散性的判别,证,即,反常积分敛散性的判别,推论2设f是定义在上的非负函数,在任何,反常积分敛散性的判别,限区间a,u上可积.,推论3设f是定义在上的非负函数,在任何有,说明:推论3是推论2的极限形式，读者应不难写,出它的证明.,反常积分敛散性的判别,解(i),反常积分敛散性的判别,若无穷积分,以下定理可用来判别一般函数无穷积分的收敛性.,三、一般函数无穷积分的判别法,何有限区间a,u上可积,反常积分敛散性的判别,因此,再由柯西准则的充分性,又对任意,反常积分敛散性的判别,反常积分敛散性的判别,瑕积分的性质与收敛判别,与无穷积,3瑕积分的性质与收敛判别,内容大都是罗列出一些基本结论,并举,分的性质与收敛判别相类似.因此本节,例加以应用,而不再进行重复论证.,反常积分敛散性的判别,定理11.7（瑕积分收敛的柯西准则）,证,柯西准则，此等价于,反常积分敛散性的判别,性质1,性质2,反常积分敛散性的判别,性质3,定理11.8(非负函数瑕积分的判别法),反常积分敛散性的判别,定理11.9(比较法则),反常积分敛散性的判别,推论1,反常积分敛散性的判别,推论2,反常积分敛散性的判别,推论3,可以判别一些非负函数瑕积分的收敛性.,反常积分敛散性的判别,例1,由于,反常积分敛散性的判别,例2,解,反常积分敛散性的判别,例3,解,反常积分敛散性的判别,反常积分敛散性的判别,*一般函数的无穷积分的狄利克雷判,定理11.5(狄利克雷判别法）,证,故,别法和阿贝尔判别法判别其收敛性.,反常积分敛散性的判别,使得,反常积分敛散性的判别,因此,由柯西准则，,证证法1,定理11.6(阿贝尔判别法),由g的单调性,用积分第二中值定理，对于任意的,使得,反常积分敛散性的判别,由柯西准则,证法2,反常积分敛散性的判别,由狄利克雷判别法,收敛.,收敛,所以,解,反常积分敛散性的判别,由狄利克雷判别法推知,另一方面，,狄利克雷判别,法条件,是收敛的；,反常积分敛散性的判别,类