三角形三条高线交于一点的六种证明方法

三角形三条高线相交于一点的证明证明法1 :用同样的法律，证明三条高度和二条高度相交的交点是同一点。已知ABC的两个高BE、CF与点o相交，第三个高AD的高度BD与点q相交，高度CF与点p相交。寻求证据： p、q、o三点重叠证明：图，BEAC、CFABaeb=afc=90另外，UUUUUURUUUUUABE ACF即ABAF=ACAE另外？ADBCAEQ ADC、AFP ADB即ACAE=ADAQ，ABAF=ADAPAAAR=acae，ACAE=ADAQ，ABAF=ADAPADAQ=ADAPPS=PS系列点q、p都在线段AD上点q、p重叠AD和BE，ad和CF相交于同一点不平行的两条直线只有一个交点be和CF也在这一点上相交点q、p、o重叠。证明法2 :连接1个顶点和2个高度的交点的线垂直于第3边，利用4点共圆的性质。已知ABC的两条高AD、BE与点o相交，第三条高CF与点f相交，CO与点f相交。求证： PD。证明：ADBC位于d，BEAC位于ea、b、d、e四点共圆1=abe同样地，2=12=Abe喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓苍蝇2bac=90即CFAB。注：证法一和证法二是证明共点线的一般方法。证明法3 :证明两个高度的交点在第三条高度线上，建立直角坐标系用代数法证明。证明：如图6所示，设直线BC为x轴，高AD为y轴，确立直角坐标系，设A(0，a )、B(b，0 )、C(c，0 )，由两条直线设定为垂直的条件xc.c德. do.oy甲组联赛乙级联赛f.fe三条高的直线方程式分别如下解(2)和(3)。2220因为这表示BE和CF的交点在AD上，所以三角形的三条高度在一点相交。注：如果考虑直角坐标系这一强大的数字连接工具，有时能有效地解决问题。证明法4 :变换以证明另一三角形的三条垂线(或中线)与一点相交。已知AD、BE、CF为ABC的三条高度。寻求证据： AD、BE、CF在一点上相交。证明：通过点a、b、c分别为BC、AC、AB的平行线ML、MN、NLHHHHHHB，HHK四边形AMBC是平行四边形PR=PS同样地，AL=BCPS=PSADMLad是ML的垂直平分线同样，BE、CF分别是MN、NL的垂直平分线三角形的垂直平分线在一点相交ad、BE、CF在一点相交。注：三角形三条中线(中垂线，平分线)相交于一点，学生容易理解，证明三角形三条垂线相交于一点的问题也不难证明其他三角形三条中线(中垂线)相交于一点。 要让学生理解这种变化是不熟悉、不容易变化的方法。证据法5 :用西瓦(Ceva )定理来证明。已知AD、BE、CF为ABC的三条高度。寻求证据： AD、BE、CF在一点上相交。证明：如图所示，UR UUR UUR在e，BEAC在e2222222222卡卡卡卡卡卡卡653(1)同样可以从ADC BEC中得到，(2)从AFC AEB(3)互相举行三式也就是说ad、BE、CF在一点相交。注：西瓦定理是证明共同点的有力工具，中学没有要求，但可以引导有馀力的学生进行自己的研究，引起他们的学习。西瓦定理可以用梅内劳斯定理证明，而梅内劳斯定理可以用平行线段的比例定理简单地得到。 在适当的情况下适当的启发有利于学生的思维扩散，有助于培养学生的创新能力。证法六ABC，三条高线为AD、BE、CF，AD和BE与h相交，连接CF。 向量HA=向量a、向量HB=向量b、向量HC=向量c。因为是ADBC、BEAC因此，矢量HA矢量BC=0，矢量HB矢量CA=0即，向量a (向量c-向量b)=0向量b (向量a-向量c)=0也就是说矢量a矢量c-矢量a矢量b=