三角函数题型总结-教师版

高三数学三角函数问题型大全一、简化评价化1、正式运用知道(2004淄博大学入学考试的模型问题) (tan=3，求值。(tan sin=m，tan-sin=n (，寻求证据。(1)解：(2)证明：二式加法、二式减法得到所以举出“一反三”(2004 .湖南理)(本小题满分12分)1、已知值解：由得到又所以2、(2013年西城二型)如图所示，在直角坐标系中，角顶点为原点，始边与轴的正半轴重叠，终边交叉单位圆在点上，且角的末边逆时针旋转，交叉单位圆在点上.(I )如果(ii )通过分别成为轴的垂线，垂下脚的顺序记为的面积，的面积.喂，求出角的值(I )解：由三角函数定义。 两分因为。所以.三分所以5分(ii )解：通过问题得到所以7分9九分根据问题整理了。 11分因此。所以，也就是说13分2、用三角形评价22222222喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓6(求cosA的值(ii )求c的值由于解：(I )为a=3、b=2、b=2a .所以在ABC中，可以根据签名定理得到。(II )由(I )可知，因此又是B=2A在ABC中所以【举一反三】(2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理) WORD版解答(校正完毕)中设定的内角的对边各自(I )求(II )如果求【回答】三角不等式(2013年高考湖南卷(理)已知函数(I )第一象限角，且.是求出的值(II )求成立的x的取值集合。解： (I )。()二、图像和性质类型1 .求范围类型(2008北京卷15 )已知函数()的最小正周期是(I )求出的值(ii )求出函数区间的值的范围解： ()是.函数的最小正周期是所以，可以解开。(ii )从(I )中得到因为。所以所以因此，即值的范围如下.二次函数型求出“例”(2008四川卷17 )函数的最大值和最小值。【解】:函数的最大值是最小值为因此，取得了最大值，取得了最小值2 .求单调区间例如2014四川卷已知函数f(x)=sin。(1)求1)f(x )的单调增加区间(2)为第二象限角，f=coscos 2，求出cos -sin 值.解： (1)函数y=sin x的单调增加区间是k-z，因此从2k3x 2k，k-z得- PR，k-z因此，函数f(x )单调增加区间是k-z .已知有(sin=cos(cos2-sin2) )sin cos cos sin=(cos2 -sin2 )为即，sin cos=(cos-sin)2(sin cos) .当sin cos =0时，是第二象限角=2k，k-z此时，cos -sin =-.在sin cos 0的情况下，(cos -sin )2=由于是第二象限角，所以得到cos -sin 0，此时cos -sin =-.总结以上内容，cos -sin =-或-。3 .与图像结合“例”(2008广东卷16 ) (本小题满分13分)已知函数，的最大值是1，其图像通过点(1)求出的解析式(2)已知且求出的值根据题意，代入点(2)根据题意的双曲馀弦值。10； 举一反三1(2008天津卷17 ) (本小题满分12分)已知函数()的最小值正周期是(I )求出的值(ii )求函数的最大值，求取最大值的集合()解：从问题来看，函数的最小正周期是可以的，所以(ii )从(I )中知道由于此时瞬间取得最大值1，所以函数的最大值为此时的集合2(2008安徽卷17 )已知函数(I )求函数的最小正周期和图像的对称轴方程式(ii )求函数区间的值域解： (1)由函数图像的对称轴方程式(2)由于区间单调增加，区间单调减少因此，当时取最大值1另外，此时取最小值函数区间中的值域在3(2008山东卷17 )已知的函数f(x)=偶函数中，函数y=f(x )图像的相邻对称轴之间的距离为(I )求f ()的值(ii )在将函数y=f(x )的图像向右单位移位后，将获得的图像上的各点的横轴缓慢地伸长至原来的4倍，纵轴不变，获得函数y=g(x )的图像，求出g(x )的单调减少区间.解： ()f(x)=2sin(-)因为f(x )是偶函数x-r，f(-x)=f(x )总是成立sin(-)=sin(-)即- sinos (-) cossin (-)=sinos (-) cossin (-)因为sincos(-)=0.是 0且x-r，所以整理成cos(-)=0.另外，由于0，所以-=.f(x)=2sin()=2cos。根据题意得到f(x)=2cos2x因为。(ii )将f (x )的图像向右位移各个单位而得到的图像，是将得到的图像的横轴伸长为原来的4倍，纵轴不变化而得到的图像。2 k2 k(k-z )时即，在4 kx4 k(k-z )时，g(x )单调减少.因此，g(x )的单调减少区间是(k-z ) .4、(2008湖北卷16 ) .已知函数(I )将函数化简化为(，)的形式(ii )求函数的值域解： ()=(ii )由得上为减法函数，上为加法函数又(当)也就是说g(x )的值域是5、(2008陕西卷17 ).(本小题满分12分)已知函数(I )求函数的最小正周期和最大值(ii )判断命令、函数的奇偶校验，说明理由解： (I )。的最小正周期当时，取得最小值，此时，取得最大值2 .(ii )从(I )中知道是.是.函数是偶函数三、解三角型1 .求基本要素【例】(2008全国二十七).中(I )求出的值(ii )设置面积、求出的长度.解： (I )由，得是的，可以所以. 5分(ii )由得从(I )可以看出所以八分又来了所以所以. 10分10； 举一反三(2008江西卷17 ) .与角对应的边分别为寻求帮助解：由得22222，又由得即从正弦定理得到2 .求范围平均定理型在“例”(2008全国第一17 )中设置的内角成对的边的长度分别为(I )求出的值(ii )求出的最大值分析： (I )中，正弦定理和可得也就是说，就是这样(ii )由得只有当时等号成立因此，当时的最大值是【举一反三】2014陕西卷 ABC内角a、b、c的对边分别为a、b、c .(1)如果a、b、c成为等差数列，则可证明sin A sin C=2sin(A C )。(2)如果a、b、c成为等比数列，则求出cos B的最小值.解： (1)a、b、c为等差数列，8756； a c=2b根据正弦定理得到sin A sin C=2sin B。sin B=sin-(A C)=sin(A C )。PS PS PS K S(2)a、b、c是等比数列； b2=ac从馀弦定理得到cos B=，只有在a=c时等号成立cos B的最小值为二次函数型(2013年的高考江西卷(理) )ABC中，已知角a、b、c相对的边分别为a、b、c，cosC (conA-3sinA)cosB=0.(1)在求出角b的大小的a c=1时，求出b的能取的范围。【答案】:(1)是已知的即有所以，还有，所以另外，所以(2)根据馀弦定理，有因为是有的还有，有，有变换求出范围将ABC的内角a、b、c的对边分别设为a、b、c，设(a2 b2-c2)sin A=ab(sin C 2sin B )，a=1.(1)求出角a的大小(2)求出2)ABC的周长的取法的范围。【正弦定理的高级运用，转换边和对角正弦值】解： (1)根据(a2b2- c2) Sina=ab (sinc2sinb )，结合馀弦定理，得到2abcos Csin A=ab(sin C 2sin B )。即，2cos Csin A=sin C 2sin(A C )，sin C(1 2cos A)=0被简化.因为sin C0，所以cos A=-。另外，因为是A(0，)，所以A=(2)因为a=，a=1，所以可以从签名定理中得到b=sin B，c=sin CABC的周长l=a b c=1 sinb sinc=1=1=1 sin。因为b -，b -是成为PS因此，l=a b c=1 sin。在ABC中，内角a、b、c的对边分别是a、b、c，acos C=(2b-c)cos A .(1)求出角a的大小(求出cos-2sin2的可取范围.【纯三角形内角的变化比以上问题更简单】解： (1)从正弦定理获得的sin Acos C=2sin Bcos A-sin Ccos Asin(A C)=2sin Bcos A，即sin B=2sin Bcos A另外，因为b是三角形的内角，所以sin B0，所以cos A=.另外，因为a是三角形的内角，所以A=(2) cos-2 sin2=sinb cosc-1=sinb cos-1=sinb cosc sb sin B-1=sin B- cos B-1=sin-1从A=可以看出，因为是b -，所以是sin为了sin-1cos-2sin2的可能值的范围是【例】【变换问题？单位圆上的坐标和三角函数的变换如何选择变量】A(xA，yA )在单位圆(中心o为坐标原点)上的任意点，将放射线OA围绕o点逆时针旋转30周得到OB，单位圆与点B(xB，yB )相交时，xaA. B. C.1 D在由单位圆定义的三角函数中，角的顶点位于坐标原点，角的始端位于x轴正半轴时，角的末端与单位圆的交点的纵轴为该角的正弦值，横轴为该角的馀弦值.如果从x轴正方向逆时针地将放射线OA所成的角设为，则通过三角函数定义为xA=cos ，yB=sin( 30 )，所以xa-Yb=cos- sin (30 )=-sincos=sin (150 )，其最大值为1求面积在例 (2008辽宁卷17 )中，内角对边的长度分别是已知的.(I )面积相等时，求出(ii )如果求出的面积解： (I )根据馀弦定理和已知条件又因为面积相等得了. 4分联立方程式解. 6点(ii )出于题意即8点当时当时，得到的是从签名定理得到的联立方程式解面积是十二分钟如图k21所示，在ABC中，sin=、AB=2，点d在线段AC上，AD=2DC、BD=(1)求BC的长度(2)求2)dbc的面积图k21图形变换解： (sin=、cosABC=1-2=在ABC中，如果设BC=a、AC=3b，则根据馀弦定理可得到9b2=a2 4-a.在ABD和DBC中，根据馀弦定理，cosADB=、cosBDC=因为cosADB=-cosBDC所以，=-，所以有3b2-a2=-6.从中得到a=3，b=1，即BC=3(2)由(1)得到，sinABC=，因此ABC面积为23=2，因此DBC的面积为.四、与向量的结合型“例”(2008福建卷17 ) (本小题满分12分)已知向量m=(sin