初中数学证明一、二、三知识点汇总及练习题

证明（一、二、三）证明（一、二） 一、命题，判断一件事情的句子，叫做命题。 1. 每个命题都有_和_两部分组成。_是已知的事项，_是由已知事项推断出的事项。一般地，命题都可以写成“_”的形式，其中“如果”引出的部分是_，“那么”引出的部分是_。 2. 正确的命题称为_，不正确的命题称为_。 3. 具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子成为反例。二、公理： 1. 平行判定： _相等，两直线平行。 _相等，两直线平行。 _互补，两直线平行。 2. 平行性质： 两直线平行，_。 3. 与三角形的有关公理 （1）_对应相等的两个三角形全等（SSS） （2）_对应相等的两个三角形全等（SAS） （3）_对应相等的两个三角形全等（ASA） （4）全等三角形的_相等三、与三角形有关的定理 1. 三角形内角和_ 2. 三角形的一个外角等于_ 3. 三角形的一个外角大于_ 4. 根据上面的公理和已证明的定理，可以证明下面的推论和定理： （1）_对应相等的两个三角形全等（AAS） （2）等腰三角形_互相重合。（简称“三线合一”） （3）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于_。 （4）有一个角等于60的_是等边三角形。 （5）在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于_。 （6）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于_。 （7）三个角都相等的三角形是_三角形。 （8）等腰三角形的_相等（简称为“等边对等角”） （9）有_相等的三角形是等腰三角形（简称为“等角对等边”） （10）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的_。 （11）如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是_ （12）_对应相等的两个直角三角形全等（“斜边、直角边”或“HL”） （13）线段垂直平分线上的点到_的距离相等。 （14）到一条线段_距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 （15）三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到_的距离相等。（这个交点也叫三角形的_。不同的三角形，_的位置不同：_） （16）角平分线上的点到这个角的_的距离相等。 （17）一个角的内部，且到角的两边_相等的点，在这个角的平分线上。 （18）三角形三条角平分线相交于一点，交且这一点到_的距离相等。 （这个点也叫三角形的_，都在三角形的_） 5. 反证法： 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出了矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为_。 6. 互逆命题、互逆定理： 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为_，其中一个命题称为另一个命题的_。 如果一个定理的逆命题经过证明是_，那么它也是一个定理，这两个定理称为另一个定理的_。证明（三）本章所证明的定理和推论： （1）平行四边形的对边_ （2）平行四边形的对角_，邻角_ （3）平行四边形的对角线_ （4）_的两个角相等的梯形是等腰梯形 （5）两组对边分别_的四边形是平行四边形 （6）两组对边分别_的四边形是平行四边形 （7）一组对边_的四边形是平行四边形 （8）对角线_的四边形是平行四边形 （9）三角形的中位线_第三边，且等于第三边_ （10）一个角是_的平行四边形是矩形 （11）矩形的四个角都是_ （12）矩形的对角线_ （13）有_个角是直角的四边形是矩形 （14）对角线_的平行四边形是矩形 （15）一组邻边_的平行四边形是菱形 （16）菱形的四边都_ （17）菱形的对角线_，并且每条对角线_ A）_条边相等的四边形是菱形 B）对角线_的平行四边形是菱形 （18）本章证明的其他可以在推论过程中使用的内容： A）夹在两边平行线间的平行线段_ B）对角线_的四边形是平行四边形 C）两组对角_的四边形是平行四边形 D）正方形的两条对角线_并且互相_每条对角线平分一组对角 E）一个角是直角的_是正方形 F）对角线相等的_是正方形 G）对角线_的矩形是正方形 I）直角三角形斜边中线等于_ H）如果三角形的一边中线等于这一边的一半，那么这个三角形是_答案：一、命题： 1. 条件 结论 条件 结论 如果那么 条件 结论 2. 真命题 假命题二、公理： 1. 同位角 内错角 同旁内角 2. 同位角相等，内错角相等，同旁内角互补 3. （1）三边 （2）两边及其夹角 （3）两角及其夹边 （4）对应边、对应角三、与三角形有关的定理 1. 等于180 2. 和它相邻的两个内角之和 3. 任何一个和它不相邻的内角 4. （1）两角及其中一角的对边 （2）顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高 （3）60（4）等腰三角形（5）斜边的一半 （6）30（7）等边（8）两个底角 （9）两个角（10）平方（11）直角三角形 （12）斜边和一条直角边 （13）这条线段两个端点 （14）两个端点 （15）三个顶点 外心 外心 锐角三角形外心在内部，钝角三角形外心在外部，直角三角形外心在斜边中点上 （16）两边（17）距离（18）三条边 内心 内部 5. 反证法 6. 互逆命题 逆命题 真命题 互逆定理 其中一个定理称为 逆定理证明（三） （1）平行且相等（2）相等 互补（3）互相平分 （4）同底上（5）相等（6）平行 （7）平行且相等（8）互相平分（9）平行于 一半 （10）直角（11）直角（12）相等 （13）三（14）相等（15）相等 （16）相等 （17）互相垂直 平分一组对角 A）四B）互相垂直 （18） A）相等B）互相平分C）相等 D）平分、相等 垂直E）菱形F）菱形 G）互相垂直J）斜边的H）直角三角形【典型例题】 1. 如图： 当（1）、（2）中的直线MANB时，请分别找出APB与MAP和NBP的大小关系，并证明。 分析：此类题目属于探索性题目，是现在比较流行的题目，在解这类题目时，应首先搞清已知和求证。对于图形的变形，要力求找到新图形与旧图形之间的关系，以便推出所得结论。 解：（1）延长AP交NB于Q点 MANB 1=2， APB=2+B APB=1+B=MAP+NBP （2）MANB MAP=AOB AOB=APB+NBP MAP=APB+NBP APB=MAPNBP 2. 已知：P是线段CD的垂直平分线上一点，PCOA，PDOB，求证：OC=OD；OP平分AOB 分析：此题已知中“P是线段CD的垂直平分线上一点”，容易让人错误地认为OP就是CD的垂直平分线了，这是不对的，希望同学们能认真审题，把握好方向，以便顺利地解出题来。 解：P是线段CD的垂直平分线上一点 PC=PD PCOA，POOB OP=OP RtCOPRtDOP（HL） OC=OD COP=DOP 即OP平分AOB 3. 已知：DE是AB的垂直平分线，FG是AC的垂直平分线，点E、G在BC上，BC=10cm，求AEG的周长。 分析：根据垂直平分线定理，可得 AE=BE，AG=GC AE、AG又是AEG的两条边，EG是它的第三条边， AEG的周长就是BC的长。 解：DE是AB的垂直平分线 BE=AE GF是AC的垂直平分线 GC=AG AEG的周长=AE+EG+GA=BE+EG+GC=BC=10cm， 4. 正方形ABCD中，M是BC上一点，N是CD中点，且AM=DC+CM，求证：AN平分DAM。 分析：已知AM=DC+CM，于是可以把MC延长并与AN的延长线交于E，利用正方形边相等和三角形全等证明AM=ME，从而证明AME为等腰三角形，得到两底角相等，进而证明AN平分DAM。 证明：延长MC交AN延长线于E N是DC中点，DN=CN 又四边形ABCD是正方形， AD=CD，D=NCE=90 ADCB，1=2 在ADN和ECN中 ADNECN（AAS） CE=AD=CD 又AM=CM+CD AM=CM+CE=ME AME为等腰 E=EAM 又E=DAN DAN=NAM 即AN平分DAM。【模拟试题】 1. 已知，ABC中，DAC=B，求证：ADC=BAC。 2. 如图： 求证：BDCA BDC=B+C+A 若点D在线段BC的另一侧，结论会怎样。 3. 证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 4. 正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为8cm，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的A沿侧面到点C处吃食物，它怎样走路径最短？并求出其长？ 5. 已知：沿折痕AC折叠长方形ABCD的一边，使点D落在BC边上一点F，若AB=8，且SABF=24，求EC。 6. 已知：DE是AB的垂直平分线，FG是AC的垂直平分线，点E、G在BC上，BC=10cm，求AEG的周长。 7. ABC中，AB=AC=9cm，BAC=120，AD是ABC的中线，AE是BAD的平分线，DFAB交AE的延长线于F，求DF【试题答案】 1. 证明：ADC是ABD的外角 ADC=B+BAD BAC=DAC+BAD B=DAC ADC=BAC 2. 证明：延长BD交AC于E BDC是CDE的外角 BDCDEC DEC是ABE的外角 DECA BDCA 同理，BDC=C+DEC DEC=A+B BDC=A+B+C BDC=360（A+