E-四点共圆例题及答案

圆圈中的四个点例1如图所示，E、F、G和H是菱形ABCD每边的中点。验证：E、F、G和H都在四周。证明了菱形ABCD的对角线交于点o，连接OE，OF，OG，oh。*交流电和直流电相互垂直。Rt中的AOB、RtBOC、RtCOD和RtDOA、e、f、g和h分别是AB、BC、CD和DA的中点。也就是说，e，f，g和h这四个点是圆的。(2)如果四边形的两个对角是互补的(或者一个外角等于其内角)，那么这四个点是共圆的。示例2如图所示，在ABC，deab adbc，df AC。验证：b、e、f和c的四个点是圆的。证明DEAB，DFAC，AED+AFD=180，也就是说，四个点a，e，d和f都是圆的。AEF=民主同盟军。同样 AD BC，ADFCDF=90。CDF+FCD=90，ADF=FCD。AEF=FCD，BEF+FCB=180，也就是说，b、e、f和c的四个点是圆的。(3)如果两个三角形有一条公共边，与这条边相对的角度相等，并且它们在公共边的同一侧，那么这两个三角形有一个公共外切圆。证明了在ABC中，BD和CE是交流侧和交流侧的高度。bec= BDC=90，e和d在BC的同一侧。四个点e，b，c，d是圆的。AED=ACB，阿=阿，AEDACB.上述三种方法是证明“四点共圆”的基本方法，但证明第四点的前三个点(不在同一直线上)所定义的圆将不再描述。在内接四边形ABCD中，a-c=12，并且a: b=2: 3。找出a，b，c，d的度数.解四边形ABCD内接在一个圆上，ac=180。A-C=12，A=96,C=84.AB=23，D=180-144=36。圆中相关角的计算可以通过圆中内切圆的对角互补来解决。众所周知，如图1所示，四边形ABCD内接在圆上，CEBD交点AB的延长线内接在e上。验证：ADBE=BCDC.证明：链接交流。CEBD，1=E.1和2是相反的圆周角度。1=2.1=E四边形ABCD在一个圆内。EBC=CDA.ADCCBE.公元前700年=DC 700年。ADBE=公元前DC。本例利用圆内接四边形的一个外角等于平行线的内对角线角和等静角，以及圆的圆周角与同一圆弧对着的条件，得到两个相似的三角形，然后得出结论。关于圆的内切圆的性质还有另一个重要的定理。现在一般不包括在中学课本中，介绍如下：定理：圆内接四边形的两条对角线的乘积等于两条对边的乘积之和。已知：如图2所示，四边形ABCD内切圆。验证：acbd=ABCD adbc。证明：将BAE=计算机辅助设计，声发射转化为电子设备中的BD .ABD=ACD，Abcd=acbe。建筑工程计算机辅助工程计算机辅助工程，BAC=海德。还有ACB=阿德，ADBC=ACDE。Acbecade=从和开始的abce adbcACBD=美国广播公司+ADBC这个定理被称为托勒密定理，是圆的内切四边形的一个重要性质。这种证明的关键是构造ABEACD，并充分利用几何中具有代表性的相似理论。由5个圆组成的内接四边形例1已知：如图7-90所示，ABCD是一个内切圆四边形，对角线相互垂直。对角线的交点E和垂直于点H的直线AB在点M处与圆相交。验证：厘米=米证明了MEC和HEB是互补的，阿部和HEB是互补的，所以MEC=阿部。也ABE=企业内容管理，所以 MEC=企业内容管理。因此，厘米=电磁。同样，纵向=纵向。所以CM=MD。这个例子的逆命题也是有效的(即如果m在图中平分CD，那么MH ab)。这两个命题有时在某些问题上有用。这个例子叫做布拉马古普塔定理。已知示例2:如图7-91所示，ABCD是acbdo的内接四边形，分析1如图7-91(a)所示。因为E是AB的中点，所以O引用自a有必要证明GB=CD，但这已经在第7章1.4的例3中得到证明。证明读者是自己做的。*分析ii如图7-91(b)所示。将交流电和直流电垂直于f点。取CD有运行经验多功能。因此四边形OEFM应该是平行四边形。证明了四边形OEFM是一个平行四边形，并解决了这个问题。证明四边形OEFM是平行四边形不再困难。*分析3如图7-91(b)所示。交流和直流的交点f被用作交流和直流在点m处相交的垂线。调频台预定在OEAB和FMAB.此外，由于EFCD(见示例1中的注释)和MOCD，ef mo因此是四边形OEFM。是平行四边形。因此OE=MF，并且例3验证：圆内接四边形对边的乘积之和等于对角线的乘积，即ABCD BCAD=ACBD。在图表中。在ABCD BCAD=ACBD中，等号的左端是两个乘积的和。为了证明这个等式是真的，通常有必要把左端分成两个单项式，也就是说，首先考虑ABCD和BCAD等于什么，然后考虑ABCD BCAD是否等于ACBD。为了考虑ABCD和BCAD等于什么，需要类似的三角形。为此，如图7-92所示，使用了声发射。设BAE=CAD，并在e点与对角线BD相交，得到AbeACD。ACBE。由此获得。ABCAED再次出现在圆圈中，BCAD=成功。由此获得。将上述两个方程分别向左和向右相加，问题就解决了。证明你是完整的。对这个例子的评论叫做托鲁梅定理。它在计算和证明中非常有用。再多一点。验证：PA=PB个人电脑.这个例子的分析是一个线段和差问题，所以可以通过截距或延拓来证明。如图7-93(a)所示，取PA上的点m，使PM=PB，剩下的问题是证明MA=PC，只需证明 abm CBP。证明你是完整的。在分析2中，如图7-93(a)所示，点m取在PA上，使MA=PC。剩下的问题是证明PM=PB，只需要证明BPM是一个等边三角形。证明你是完整的。在分析3中，如图7-93(b)所示，CP扩展到m，使PM=PB。剩下的问题是证明PA=MC，只需要证明 PAB CMB。证明你是完整的。这个例子的其他证明可以通过模仿上述方法得出。*在这种情况下，最简单的证明是使用陶勒盖定理(例3)。通过陶勒盖定理证明了PABC=PBACPCAB，因为BC=AC=AB，所以有PA=PB.例2如图7-116所示，穿过点a和b的01和02的直线CD在点c与01相交，在点d与02相交。穿过点b的直线EF在点e与01相交，在点f与02相交验证：cedf。分析：为了证明CEDF，考虑证明均衡角(或内部交错角)相等或同一侧的内角互补。由于ce和df分别在两个圆上，所以不容易找到角度关系，如果AB是连通的，则可以形成圆内接四边形，并且可以利用圆内接四边形的性质定理来传达两个圆内的相关角度之间的关系。证据：链接ab。ABEC是一个圆内接四边形，BAD=E.ADFB是一个刻在圆上的四边形，BAD+F=180，E+F=180.CECF.注：(1)这个题目也可以用相同的并置角或相同的内不对中角来证明，两条直线是平行的。例如，将有效位扩展到G，因为DFG=BAD，而BAD=E，所以 DFG= E(2)应该强调的是，本课题的辅助线是形成一个圆内接四边形，以便利用其性质推导出角度之间的关系。(3)对于水平较高的学生，他们可以进一步思考。如果话题保持不变，但没有给出具体数字，还有其他情况吗？提出问题后，学生可以画出自己的图画并思考。通过讨论，很明显，该主题也应该具有图7-117所示的情形并被证明。例3如图7-118所示，已知在ABC中，AB=AC，BD平分B，ABD和BC的外切圆在e相交。验证：ad=EC。分析：要证明AD=EC，我们不能直接建立它们之间的联系。考虑到已知的条件，我们可以知道ABD=DBE，易于查看。如果德连接，则德=德。因此，只要证明了DE=EC。由于微分方程和微分方程是微分方程的两个边，只要 EDC= C。从已知条件中， C= ABC是已知的。因此，只要 EDC= ABC被证明。因为EDC是圆内接四边形ABED的外角，所以 EDC=基本问题可以求解。证明：加入德。Bd除以ABC,AD=DE.ABED是一个圆内接四边形，EDC=ABC.AB=交流电，ABC=C,EDC=C.因此，ad=ec。四.家庭作业1.如图7-120所示，在内接四边形ABCD、AC平分线BD和acbd bad=7018 中，找到了四边形的其余角。2.在ABCD中，ra3.如图7-121所示，AD是ABC的外角EAC的平分线，AD在点D处与三角形的外接圆相交。验证：DB=DC。家庭作业的答案或提示：1.模数转换器=90，模数转换器=10942。2.A=45，B=67.5，C=135，D=112.5。3.提示：因为DBC=发援会，出口导向区=出口导向区，和出口导向区=发援会，DBC=出口导向区，因此数据库=DC。一种判断四个点在一个圆内的方法引导学生归纳和决定四点整的方法；(1)如果四个点与某一点等距，则这四个点是圆形的。(2)如果四边形的一组对角线是互补的，那么四边形的四个顶点是圆形的。(3)如果四边形的一个外角等于其内对角线，则四边形的四个顶点是圆的。(4)如果两个直角三角形有共同的斜边，那么这两个三角形的四个顶点是圆形的(因为这四个顶点离斜边的中点是等距的)。3.如图7-124所示，ABCD被称为平行四边形，通过点a和b的圆分别在e和f处与AD和BC相交。验证：c、d、e和f四个点都是圆的。提示加入英孚。从BAEF=180和BC=180，可以得到AEF=C。四点协整的应用四点共圆在平面几何证明中应用广泛。熟悉这个应用程序对拓宽证明问题的思路和提高解决问题的能力非常有益。一个用来证明两个角度相等。例1如图1所示，已知p稍大于0，PA在a中切割为0，PB在b中切割为0，OP在e中与AB相交。证明OA，OC，OD之间的联系。根据射影定理，AE2=PEEO，AE=BE，AE=BE=PEEO.(1)；Aebe=Cede.(2)由交弦定理得到；(1)和(2)的Ceed等于peeo，p，c，o和d都是圆的，然后 1= 2， 3= 4，和 2= 4。 1= 3，容易证明 APC= bpd ( 4= edo)。其次，它被用来证明两个线段是同相的。实施例2如图2所示，切线PA、PB和割线PDC从O外的点p引出，来自点a的弦AE平行于DC，BE在f处连接到DC，证明：fc=FD。事实证明，如果AD、AF、EC、ab。pa被切割O为a，然后1=2。AECD，然后2=4。1=4，P，a，f，b都是圆的。 5= 6， 5= 2= 3，8三用来证明两条直线是平行的。例3如图3所示，在ABC中，AB=AC，ADBC， b的两个三等分相交于e和g，AC相交于f和h。验证：eh GC。证明联系。在ABE和ACE中， AE=AE，AB=AC， BAE= CAE，AEBAEC， 5= 1= 2，B，c，h，e是圆的四个点， 6= 3。在GEB和GEC中， ge=ge， BEG= 3四用来证明两条直线是垂直的。证明了在ABD和BCE中，AB=BC，Abd=BCE，BD=CE，则Abd=BCE， ADB= BEC，P，d，c，e是圆的四个点。让DC的中点与运行经验相联系。一正 OEC=60， DEO=30 DEC=90，所以DPC=90五是用来确定切线例5如图5所示，AB是半圆的直径，p是半圆上的点，PCAB在c处，直径为AC的圆交点PA在d处，直径为BC的圆交点PB在e处，证明了DE是两个圆的公共切线。证明了把DC和CE联系起来，很容易知道PDC= pec=90，8756；p，d，c，e是圆中的四个点，所以1=3，和 3 2=90，和 a 2=90，然后 1= a，8756；德是圆微分方程的切线。类似地，DE是圆BCE的切线。因此，de是两个圆的公共切线六是用来证明比例公式例6 AB和CD是0的两个平行的弦，通过点b的切线在g处与CD的延长线相交，弦pa和PB分别在e和f处与CD相交。如图6所示。如果是，pg。BG与b相切O，然后1=aabCD，然后a=2。那么1=2，8756；p，g，b，e是圆的四个点。根据交弦定理，EFFG=PFFB.在O中，从相交弦定理，CFFD=FPFB.七是用来证明平方法的例7 AB