函数的极限PPT课件

第二章函数的极限，据说极限思想是微积分的灵魂。 这句话形象地表示了极限概念的重要性。 微积分的大部分概念和计算基于极限概念。 在微分和积分的过程中看不到界限，是因为在用界限建立了概念和运算的规则之后，我们沉浸在这些概念和规则中，忘记了本质上来自界限概念。 本章主要介绍了极限的概念和计算。 理解极限概念，用各种方法计算极限是本章的要点。 2.1极限的概念，2.2无限少量和无限大量，2.3极限的计算，2.4用两个重要的极限求极限，2.5用等价无限少量的置换和变量求极限，2.1，2.1极限的概念，函数的极限随着参数的变化，研究函数的变化趋势。 自变量的变化方式有6种，分别表示： x从x0的两侧朝向x0，“x朝向x0”表示读x从x0的右侧朝向x0，“x朝向x0的右侧”表示读x从x0的左侧朝向x0，“x是x0的相应地，函数的极限也可能有六个。 我们重点介绍两种情况，其馀情况只做简单介绍。 在2.1.1xx0的情况下，函数f(x )的极限是：当、122222222222652、定义2.1.1、x朝向无限远时，f(x )朝向无限远的常数a (参见图2.1-1 )、2.1、或x朝向x0时上式读为“x接近x0时，f(x )的极限为a”。 例2.1.1 .要求。 解：例2.1.2 .要求。 解：2.1，解：例2.1.2 .要求。 参见图2.1-2。 之后，关于函数的界限，不是写函数是什么，而是在界限符号的右边直接写函数的公式。 举例来说，在x2的情况下，表示函数f(x)=2x2 2的极限。 在2.1、定义2.1.2、x从x0的右侧朝向x0时，f(x )无限地成为常数a时(参照图2.1-3 )，将f(x )在x0处的右界限变更为a，或者f(x0 0)=A，2.1、定义2.1.2处的右变更为左时f(x )在x0上的左边界或f(x0-0 )、2.1、这样，函数在点x0上的边界有三个情况： x从右侧起x0 (参照图2.1-3 )，x从左侧起x0 (参照图2.1-4 )，x从x0的两侧起x0 (参照图2.1-1 ) 下面的定理显示了三种情况的关系。 定理2.1.1，即函数为x0且存在界限的满足条件是：存在左边界、存在右边界并且左右界限相等。 另外，如果函数在x0处具有不同的双侧性状态或者公式不同，则通常使用以上定理来确定x0处的函数的极限。 2.1，例2.1.4 .要求。 不存在。 参见图2.1-5。 2.1，例2.1.5 .要求。 解：22222222222随着喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓|x|无限变大，f(x )无限成为常数a时，请参照图2.1-6。 当时，f(x )的界限为a，当时记为f(x)A或图2.1.6、2.1、例2.1.6 . 例2.1.7 .要求。 参见图2.1-7和图2.1-7。 同样，在x向正方向无限变大时，f(x )无限接近常数a，此时，f(x )的极限在a，x向负方向无限变大时，f(x )无限接近常数a，此时，f(x )的极限在a、2.1、2 . 在函数的自变量为正整数的情况下，习惯于用后缀，即yn=f(n )来写自变量n，例如，对于数列，虽然自变量n的变化方法只有n，但习惯于用n来表记，没有除此之外的情况，所以表记不会发生混乱。例2.1.8 .例2.1.9 .2.1，2.2无限少量和无限大量，2.2.1无限少量，定义2.2.1 :函数(包括数列)的变化趋势存在两个重要情况，一个是朝0，朝0的量被称为无限少量，倾向的量是无限少量和无限大量的分析，便于极限的计算。 如果xx0，f(x )是无限少的，即，极限为0的量被称为无限少。 另外，对于自变量的其他几个变化过程也可以同样地叙述上述的定义。 在2.2，例如：注1 .函数f(x)0中，由于在任何参数的变化过程中lim0=0，因此在任何变化过程中都可以认为是无限小的。 注2 .变量f(x )无限少量，必须指定自变量的变化过程，不指定自变量的变化过程，f(x )无限少量，没有意义。 2.2，例如：x-时ex无限少；x时ex为无限大。 光说“ex是无限少量”是没有意义的。 无限大的概念见以下2.2.3节。 无限少量有以下定理：定理2.2.1 :(1) .无限少量的和是无限少量，(2) .有限个无限少量的积，还是无限少量，(3) .有边界量和无限少量的积，还是无限少量。 注：限定词“有限个”是必须的，不能删除，没有“有限个”的限定词，结论一般不成立。 2.2，2.2.2无限少的阶：定义2.2.2 :即XXX0时，f(x )、g(x )是无限少，如果XXX0时，f(x )是比g(x )高阶的无限少，f (x )=o (g (x ) ) (XXX 0时，通常于是，当xx0时，f(x )是与g(x )相同水平的无限小。 标记为f(x )=o (g(x ) ) (XXX0)，f (x )读成大欧g (x ) )。 2.2，若： xx0时，f(x )是与g(x )等价的无限小。 标记为f (x )g (x ) (xx0时)。 例如，在xx0的情况下，x3是比x2高的无限小。 在x0的情况下，x2x3是与x2等价的无限少量。 2.2，2.2.3无限大，定义2.2.3 :XXX0，f(x )的绝对值|f(x)|若无限大，则在XXX0时，f(x )为无限大，参照图2.2-1、图2.2-2。 注意：上式不能说是“f(x )的极限”。 函数的极限总是指“一个数”，而不是一个数。 xx0、|f(x)|，是不存在界限的情况。 同样，可以说是自变量的其他几个变化过程的情况。 2.2，无限大具有以下运算性质：(1) .两个正无限大之和还是正无限大，(2) .两个负无限大之和是负无限大。 但是，两个无限大之和是无限大的，例如，如果两个无限大的方向相反，则和可能不是无限大。 例如，在x的情况下，f(x )和g(x )是无限大的，而f(x )和g(x )是无限小的。 (3) .两个无限大的积还是无限大的。 2.2，2.2.4无限大和无限小的关系，极限和无限小的关系，定理2.2.2 :定理2.2.3 :以下两个定理是常用的，其结论也是自然的。 无限大的倒数是无限小，无限少量的倒数是无限大。 符号“”读为“正当”。 f(x)=A ，其中=f(x)-a(xx0 )是无限小的。 有时利用这个性质来分析极限是很方便的。2.2、2.3极限的计算、2.3.1四则算法求极限，定理2.3.1 :极限的计算是微积分的基本技能。 极限计算有很多方法和技术，所以应该不断地总结，提高极限计算的能力。 下面的定理只证明极限四则算法：则： (1) .(2) .(3) .当，2.3，证：第(2)条，其馀两个可以相似地证明。=0、已证、2.3、和、差、积、商的极限等于极限之和、差、积、商，可以利用这些规律把复杂函数的极限变为几个简单函数的极限。例2.3.1 .极限、解：2.3、2.3、例2.3.2 .极限、解：例2.3.2 .极限、解：2.3、2.3.2双向三明治定理中极限、定理2.3.2:(双向三明治定理)，如果参照图2.3-1。 在自变量的其他变化方式中，定理的结论还成立。 例如，假设(1).g(x)f(x)h(x )，(2).g(x)A，h(x)a(XXX0)，则f(x)a(XXX0)，两侧的夹入定理的使用方法：通过简单的夹入变得复杂。 2.3，解：寻找下述f(n)=，例2.3.5 .用两个简单的函数夹住f(n )。 按照f(n )的根编号而变化的数字的1、2、3、n是n、f(n )被缩小，即按照2.3、f(n )、f(n )的根编号而变化的数字的1、2、3、n都是1、f(n )被缩小，即用两边的夹入定理求界限，认为技术很高，你也不需要为此担心，我们只在2 .中，在f(n )，n的情况下，2.4用两个重要的界限求界限，两个重要的界限是：2.4.1重要的界限，2.4 如果存在、2.4、h(x)1和g(x)1，则由于f(x )是偶函数，所以可能仅考虑x0。 在图2.4-1所示的单位圆中，(1)和s表示面积。 注意圆的半径OA有1，代入(1)式，有2.4，从两侧有定理，两侧被相同除尽，由此可以得到比(2)式更常见的公式：注：该式是。 从现在开始，一定要记住一些等价无限少量。 最后介绍等效无限少量求极限的方法。 等效无限少量的记忆越多，极限计算越灵活。 解：例2.3.2 .求极限(在本例中为tanxx，相当x0 )。 一般的tan(x)(x )是，(x)0)，2.4，解：例2.4.2 .求极限，解：例2.4.3 .求极限，arctanx=t，x=tant，而且在x0的情况下是t0。 (arctanxx，当x0 )、2.4.2重要界限，2.4，请记住，这个界限的证明很复杂，需要很多技术。 我们只要记住这个公式就可以使用。 一般来说，要注意这一重要界限的特征是：底为1 0的形式(这里0表示无限少量)，指数为(无限大量)，重要的是基数为1 0的无限小部分和指数部分相互为倒数。2.4，弄清这些之后，我们可以利用这个重要的界限来表现求界限的过程。 也就是说，底是1 0，其中前两个句子是“认识”决定是否用第二重要的界限来计算界限。第三个是使用重要的界限式的“条件”的第四个句子，指出了在不满足该条件时我们应该做的。 指数意味着手指、底相互相反(与底的无限小部分相反)，不相反。2.4、解：解：例2.4.4 .求极限、例2.4.5 .求极限、解：例2.4.6 .求极限、2.4、解：例2.4.7 .求极限例2.4.8 .请记住求极限2.5等效无限少量置换和变量置换求极限，2.5.1等效无限少量置换求极限，2.5、极限计算中，等效无限少量置换使用极限式中的分子和分母上的与其等效的因子，道理很简单。 如果计算极限，则如果知道“(x)(x )、”(x)(x )，则被置换为“”。 本、比、形式简单，这种置换简化了极限的计算。 请注意，2.5，在上面的导出中，第一步是恒等变形，并且第二步只被使用条件代替等价的无穷小因子。解：例2.5.1 .求界限，2.5，解：例2.5.3 .求界限，解：例2.5.2 .求界限，用变量替换2.5.2界限，2.5，实际上，我们用了很多次这种方法。 之前，XX0为(x)0.解： x=t6为x1，t1为例2.5.4 .求极限，极限计算是微积分课程的基本技能，今后随着可用工具的增加，介绍求极限的方法和技术，读者也介绍求极限的方法和2.5.3极限思想，2.5，迄今为止，我们掌握了极限计算的基本方法。 谈谈用极限方法解决问题的基本