圆锥曲线的焦半径公式及其应用

！圆锥曲线的焦半径公式及其应用圆锥曲线上任意一点到焦点的距离叫做圆锥曲线关于该点的焦半径。利用圆锥曲线的第二定义很容易得到圆锥曲线的焦半径公式。1.椭圆的焦半径公式(1)若P(x,y)为椭圆+=1(ab0)上任意一点，F、F分别为椭圆的左、右焦点，则=a+e x,=a-e x.(2) 若P(x,y)为椭圆+=1(ab0)上任意一点，F、F分别为椭圆的上、下焦点，则=a+e y,=a-e y.2.双曲线的焦半径公式(1)若P(x,y)为双曲线-=1(a0，b0)上任意一点，F、F分别为双曲线的左、右焦点，则当点P在双曲线的左支上时，=-e x-a,= -e x+a.当点P在双曲线的右支上时，=e x+a,= e x-a.(2)若P(x,y)为双曲线-=1(a0，b0)上任意一点， F、 F分别为双曲线的上、下焦点，则当点P在双曲线的下支上时，=-e y-a,= -ey+a.当点P在双曲线的上支上时，=ey+a,= ey-a.3.抛物线的焦半径公式(1)若P(x,y)为抛物线y=2px(p0)上任意一点，则= x+(2) 若P(x,y)为抛物线y=-2px(p0)上任意一点，则= -x+(3) 若P(x,y)为抛物线x=2py(p0)上任意一点，则= y+(4)若P(x,y)为抛物线x=-2py(p0)上任意一点，则= -y+下面举例说明上述各公式的应用例1求椭圆+=1上一点M(2.4,4)与焦点F、F的距离.解：易知a=5,e=且椭圆的焦点在轴上，= a+ey=5+4=,= a-e y=5-4= 。例2.试在椭圆+=1上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的两倍解：由，得。设P(x, y),则=a+ex,即5+x=，解之得x=，所以P(,).例3.在双曲线-=1上求一点M，使它到左、右两焦点的距离 的比为3：2，并求M点到两准线的距离。解：设点M的坐标为（x，y）, 左、右两焦点分别为F、F，则由：=3：2，知,所以点M在双曲线-=1的右支上，=ex+a,= ex-a，即(ex+a):( ex-a)=3:2， 2(ex+a)=3(ex-a),把a=4, e=代入，得x=16, y=,即M（16，）。故双曲线的准线方程为x=,M点到两准线的距离分别为和。例4 (1994年全国高考题) 设F、F是双曲线-y=1(ab0)的左、右两个焦点，点P在双曲线上，且满足FPF=90，则FPF的面积是 （ ）A1 B C2 D解：根据对称性，可设点P(x,y)在双曲线的右支上，则=e x+a,= e x-a.由FPF=90，得+=，即(e x+a)+(e x-a)=4c,ex+a=2 c,即ex=2 c-a= a+2b,S=( ex- a)= b=1,故选(A).练习： (2001年全国高考题)双曲线-=1的左、右两个焦点为F、F，点P在双曲线上，若PFPF，则点P到x轴的距离为_.提示：仿照例2可求出x=，代入双曲线-=1，得y=,点P到x轴的距离d=.例5.(2000年全国高考题)椭圆+=1的焦点为F、F，点P为其上的动点，当FPF为钝角时，点P横坐标的取值范围是_. 解：易知e=.设点P的横坐标为x,则=a+e x=3+x,=a-e x=3-x.由余弦定理，得cosFPF=,FPF是钝角，-1 cosFPF0,即-10,解之得- x0)上三点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三点的焦半径的关系是 （ ）A成等差数列 B常数数列 C成等比数列 D非等差、等比数列解：设抛物线y=2px(p0)上纵坐标的平方成等差数列的三点依次为A(x,y)、B(x,y)、C(x,y),则y=2px，y=2px，y=2px.由y+y=2y,得x+x=2x.+=(x+)+(x+)=x+x+p=2x+p=2(x+)=2，成等差数列,故选A. 例7在抛物线x=2py(p0)上有一点A(m,4)，它到该抛物线的焦点的距离为5，求此抛物线的方程和点A的坐标. 解：根据抛物线的焦半径公式，有4+=5，p=2,故抛物线的方程为x=4y。 将x=m,y=4代入x=4y,得m=4, 点A的坐标为（-4，4）或（4，4）.例8在双曲线-=-1的一支上有不同的三点A(x,y)、B(x,6)、C(x,y)与焦点F(0,5)的距离成等差数列。(1)求y+ y;(2)求证线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求出该定点的坐标。解(1)：由题设知，A、B、C在双曲线的上支上，故有=e y-，=6e -，=e y-.，成等差数列,26e= (e y-)+( e y-),即y+ y=12.证(2)：A、C在双曲线-=-1上，-=-1，-=-1，两式相减，得=，即k=,于是线段AC的垂直平分线方程为y-6=-(x-),即x+y-=0,又是实数，x=0且 y=，故直线经过定点(0, ).例9设F、F是椭圆+=1(ab0)的左、右两个焦点，P是椭圆上的任意一点，且FPF=2，求证：FPF的面积S=btan.证明：设点P的坐标为（x,y），则=a+e x,=a-e x.由余弦定理，得（a+e x）+（a-e x）-2（a+e x）（a-e x）cos2=(2c),即a+ ex-( a- ex) cos2=2c,a(1- cos2)+ ex(1+ cos2)=2c,asin+ excos=c,ex=, S= sin2=（a+e x）（a-e x）sin2=( a- ex) sin2=( a-)sin2=2sincos= btan.说明：1.题设中的FPF通常称为椭圆的焦点三角形，且此结论对于焦点在y轴上的椭圆也适用。2.用同样的方法可得双曲线的焦点三角形的面积公式S=bcot,其中FPF=2（P为双曲线上的任意一点）.3.利用本例结论很容易求解下面的习题： 设F、F为椭圆+=1的左、右两个焦点，点P在椭圆上且满足FPF=90，则FPF的面积是 （ ）A1 B. C.2 D.请读者不妨一试，答案：选A.例10.过抛物线的焦点F作不垂直于对称轴的直线交抛物线与A、B两点，线段AB的垂直平分线交对称轴于N，求证：.证明：设抛物线的方程为x=2py(p0)，A(x,y)、B(x,y)，线段AB的中点为M(x,y),则y=2px，y=2px，两式相减，得=，即k=.MNAB，k=-，直线MN的方程为y-y=-(x-x),令y=0, 得x= x+p，= x-= x+,又=+=(x+)+(x+)= x+x+P=2x+P=2(x+),从而.例11.已知双曲线-=1的左右焦点分别为F、F，左准线为L，能否在双曲线的左支上找到一点P，使是P到L的距离d与的等比中项？若能，试求出点P的坐标，：若不能，请说明理由.解：假设在双曲线的左支上找到一点P(x,y)( x-5), 使=d，由双曲线的第二定义，得=e=,即d=,=,又=-ex-a=-(x+5)， =-ex+a=-x+5, -(x