Matlab与化工数值计算-第3讲矩阵操作与线性方程组求解.ppt

第三讲矩阵操作与线性方程组求解,隋志军化工学院软件应用教科组2006-10,本章知识要点,数值计算线性方程组的直接解法线性方程组的迭代解法,MATLAB矩阵的生成与操作矩阵运算函数,本章的所要解决的典型问题,数学模型：,线性方程组在化工模型中的作用,多组分体系的物料衡算各种化合物的物理化学性质稳态动力学计算微分方程的差分方程求解,病态线性方程组,线性方程组的求解方法,迭代解法：雅可比（Jacobian）迭代高斯-赛德尔（Gauss-Siedel）迭代松弛（SOR）迭代共轭梯度（CG）迭代在Matlab线性方程组的解法归结为矩阵的除法命令,直接求解方法：高斯消元法高斯约当消去法追赶法,矩阵的生成,直接输入小矩阵利用ArrayEditor创建M文件输入大矩阵利用矩阵操作命令cat-数组连接reshape-数组变维repmat-数组复制与平铺,工具矩阵,zeros-全零阵ones-全一阵eye-单位阵rand-均匀分布随机阵randn-正态分布随机阵,常用矩阵生成函数,B=zeros(n)B=zeros(m,n)B=zeros(size(A),rand(state,n)rand(N)statetwisterseed,特殊矩阵,compan-Companionmatrix.gallery-Highamtestmatrices.hadamard-Hadamardmatrix.hankel-Hankelmatrix.hilb-Hilbertmatrix.invhilb-InverseHilbertmatrix.magic-Magicsquare.pascal-Pascalmatrix.rosser-Classicsymmetriceigenvaluetestproblem.toeplitz-Toeplitzmatrix.vander-Vandermondematrix.wilkinson-Wilkinsonseigenvaluetestmatrix.,常用矩阵生成函数,一维数组的寻访和赋值,生成一（15）0状态下的均匀分布随机数组，并寻访1)数组的第三个元素；2)数组的1，2，5个元素组成的子数组；3)前三个元素组成的子数组；4)寻访除前三个元素外的其它元素；5)前三个元素倒排形成的子数组；6)由大于0.5的元素构成的子数组；7)将元素的第1，4个元素赋值为0。,rand(state,0)x=rand(1,5)a1=x(3)a2=x(125)a3=x(1:3)a4=x(3:end)a5=x(3:-1:1)a6=x(find(x0.5)x(14)=00;x,矩阵的生成与寻访,A=123;456;789;A(5,5)=111A(:,6)=222AA=A(:,1:6,1:6)AA1=repmat(A,1,2)AA2=repmat(A,2,2)B=ones(2,6);AB_R=A;BAB_C=A,B(:,1:5)sA(s)=0;A,A=000002222580022200900222000002220000111222,逻辑1标识,逻辑逻辑、关系运算any若向量或数组的列向量任意元素不为0则返回真all若向量或数组的列向量所有元素不为0则返回真find寻找非零元素坐标,a=magic(5);a(:,3)=zeros(5,1)a1=all(a(:,1)3)a3=any(a(:,1)10)a4=any(a10),a=reshape(1:9,3,3);a=1./af1=find(a)f2=find(abs(a)0.20X=A(L),矩阵的特殊操作,矩阵变维reshape(X,M,N)矩阵变向rot90（A），rot90（A,K）fliplr(A)，flipud(A)，flipdim(X,dim)矩阵的抽取diag(X,K)tril(X)，tril(X,K)，triu(X)，triu(X,K),矩阵的基本性质,size-Sizeofarray.length-Lengthofvector.ndims-Numberofdimensions.numel-Numberofelements.isempty-Trueforemptyarray.isequal-Trueifarraysarenumericallyequal.isequalwithequalnans-Trueifarraysarenumericallyequal.,矩阵的基本生成、性质、操作命令归类于elmat主题，可通过helpelmat查看,Matlab矩阵函数,矩阵分析norm矩阵或向量范数；rank矩阵秩；det矩阵的行列式线性方程组求解和/线性方程求解inv矩阵求逆cond矩阵条件数luLU分解特征值和特征向量eig矩阵的特征值和特征向量svdSVD分解,矩阵的分析等较为复杂的函数归类于matfun主题，可通过helpmatfun查看更为详细的信息,左除和右除的比较,用以下程序生成条件数很大的方程randn(state,0);A=gallery(randsvd,100,2e13,2);%产生条件数为2e13的100阶矩阵x=ones(100,1);%生成真解b=A*x;%用A和x生成b比较左除法和求逆法的求解所用的时间和相对残差,tic%求逆法xi=inv(A)*b;ti=toc,eri=norm(x-xi),rei=norm(A*xi-b)/norm(b)tic%左除法xd=Ab;td=toc,erd=norm(x-xd),rei=norm(A*xd-b)/norm(b)结果：ti=0.1950,eri=0.0539,rei=0.0037td=0.0156,erd=0.0779,rei=2.8535e-015,数学模型：,本章开始问题的求解,A=0.070.180.150.24;0.040.240.100.65;0.540.420.540.10;0.350.160.210.01;B=0.15*70;0.25*70;0.40*70;0.20*70;x=AB,求解程序：,反应矩阵的秩与独立反应数,独立反应：在一个存在多个反应的复杂反应体系中，某些反应的化学计量方程可以由其它反应的化学计量方程线性组合得到。如果m个同时发生的反应中，若每一个反应的计量方程都不能有其它反应的计量方程的线性组合得到，则称这m个反应是相互独立的。,brank(A)解得：b3，因此只有三个反应是独立的,线性方程组的迭代解法,雅可比迭代：,SOR迭代：,高斯-赛德尔迭代：,12用于加速某收敛的迭代过程，而取0=1e-8x0=y;y=BG*x0+gG;n=n+1;enddisp(ThesolutionofGauss-Seideliterationare)fprintf(nn=%3dn,n)disp(y=),disp(y),%SORomiga=1.08;BS=(D-omiga*L)(1-omiga)*D+omiga*U);g