行列式的性质1-2.ppt

2行列式的性质与计算,教学目的：通过本节的教学使学生掌握n阶行列式的性质，并会用性质计算行列式.,教学要求：理解行列式的性质，用性质计算行列式.,教学重点：n阶行列式的性质.,教学难点：n阶行列式的性质的证明.,有了n阶行列式的定义，我们就可以计算n阶行列式，在计算几种特殊行列式的过程中，发现直接用定义计算是非常麻烦.,当行列式的阶数较高时，计算是十分困难的，为了简化n阶行列式的计算，我们这一节主要研究行列式的性质及其计算方法.,一、行列式的性质,性质1行列式与它的转置行列式相等.,行列式称为行列式的转置行列式.,记,证明,按定义,又因为行列式D可表示为,故,证毕,性质2互换行列式的两行（列）,行列式变号.,证明,设行列式,说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,是由行列式变换两行得到的,于是,则有,即当时,当时,例如,推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,证明,互换相同的两行，有,故,证毕,性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.,推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,性质行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,证明,性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.,则D等于下列两个行列式之和：,例如,性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,例如,例,二、应用举例,计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,解,例2计算阶行列式,解,将第都加到第一列得,思考题,记行列式,则方程,的根的个数为（）,例3,证明,证明,补充说明,例4,解,思考题1四阶行列式,的值等于（）,(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).,计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,三、小结,行列式的6个性质,例如,一、余子式与代数余子式,第六节行列式按行（列）展开,叫做元素的代数余子式,例如,引理一个阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那末这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即,例如,即有,又,从而,在证一般情形,此时,得,得,中的余子式,故得,于是有,定理行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,证,二、行列式按行（列）展开法则,例1,推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,证,同理,关于代数余子式的重要性质,例2设4阶行列式的第2列元素为2,m,k,3，第2列元素的余子式依次为1,1,1,1，第4列元素的代数余子式依次为3,1,4,2，且该行列式的值为1，求m,k的值.,解,根据公式有,由于第2列元素的代数余子式依次为1,1,1,1，第4列元素的代数余子式依次为3,1,4,2，从而有,即,故m=-4,k=-2.,证,用数学归纳法,n-1阶范德蒙德行列式,方法点评：范德蒙行列式可以作为结论在今后直接使用。,方法点评：涉及自然数命题的可以使用数学归纳法。,方法点评：1三角化法；2加边法；3用展开公式法。,注意加边法的使用,方法点评：1递推法；2三角化法；3数学归纳法；,对于这一类三对角线行列式通常可以用递推法求解。,解（递推法）将Dn按第一行展开，得到Dn1Dn2表示Dn的式子,即Dn（+)Dn1Dn2Dn1+Dn1Dn2,所以DnDn1(Dn1Dn2)n-2(D2D1),又因为D2(+)2，D1+,所以，DnDn1n,再由对称性，DnDn1n,当时,将上两式的两边分别乘以、,然后相减得,当时，对DnDn1n使用递推法,Dnn+Dn1n+n1+Dn22n+2Dn2(n2)n+n2D2(n2)n+n232(n+1)n,19,(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).,计算行列式常用方法：(1)利用定