函数求导法则.ppt

第二节函数求导法则,直接用定义去求每一个函数的导数是极为复杂和困难的.利用本节给出的四则运算和复合函数的求导法则,就能比较方便地求出初等函数的导数.,一、函数和、差、积、商的求导法则,二、反函数求导法则,三、复合函数的求导法则,四、初等函数的导数,一、函数和、差、积、商的求导法则,定理1设函数u=u(x)及v=v(x)都在点x处可导,那么它们的和、差、积、商在x处也可导,u(x)v(x)在点x处也具有导数,且,（2）u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x),（1）u(x)v(x)=u(x)v(x)；,（3）,【v(x)0】,证（3）,取得增量u,v,函数,也取得增量,除法求导法则可简单地表示为,当x取增量x时,函数u(x),v(x)分别,乘积求导法则可简单地表示为(uv)=uv+uv.,推论1设u(x)在点x处可导,C为常数,则(Cu)=Cu.,推论2设u=u(x),v=v(x),w=w(x)在点x处均可导,则(uvw)=uvw+uvw+uvw.,例1y=x4+sinxln3,求y.,解y=(x4)+(sinx)+(ln3),=4x3+cosx.,=ex(sinx+cosx)+ex(cosx-sinx)=2excosx.,例2y=ex(sinx+cosx),求y.,解y=(ex)(sinx+cosx)+ex(sinx+cosx),例3,例4y=2sinxcosxlnx,求y.,例5y=tanx,求y.,即(tanx)=sec2x.这就是正切函数的求导公式.,类似地可求余切函数的求导公式(cotx)=csc2x.,例6y=secx,求y.,即(secx)=secxtanx.这就是正割函数的求导公式.,类似地可求余割函数的求导公式(cscx)=cscxcotx.,二、反函数的求导公式,定理2设函数在区间Iy上单调、可导,且,则它的反函数y=f(x)在对应区间Ix上也单调、可导,且,简言之，即反函数的导数等于直接函数导数（不等于零）的倒数.,任取xIx,给x以增量,由y=f(x)的,因为y=f(x)连续,故,，从而,单调性可知y=f(x+x)-f(x)0,于是,证,又,例7.求函数,解:,则,类似可求得,则,的导数.,为函数,类似可求得,解：,的反函数。,例8.求函数,的导数。,解：,则,例9.求函数,的导数。,小结:,三、复合函数的求导法则,定理3设函数u=g(x)在点x处可导,函数y=f(u)在点u=g(x)处可导,则复合函数y=f(g(x)在点x处可导,且其导数为,设x取增量x,则u取得相应的增量u,因为u=g(x)可导,则必连续,所以x0时,当u=0时,可以证明上述公式仍然成立.,从而y取得相应的增量y,即u=g(x+x)g(x),y=f(u+u)f(u).,u0,因此,当u0时,有,证,中间变量的导数乘以中间变量对自身变量的导数.设y=f(u),u=g(v),v=h(x)都是可导函数,则复合函数y=f(g(h(x)对x的导数为,公式表明,复合函数的导数等于复合函数对,例10y=lnsinx,求y.,解设y=lnu,u=sinx,则,例11,解设,熟练之后,计算时可以不写出中间变量,而直接写出结果.,例12,例13,例14y=lncos(ex),求y.,例15,例16设x0,证明幂函数的导数公式(x)=x-1.,证,解：,例17设,解：设,例18设,其中函数,可导，求,四、初等函数的导数,1.基本导数公式,(1)(C)=0;(2)(x)=x-1;(3)(sinx)=cosx;(4)(cosx)=sinx;(5)(tanx)=sec2x;(6)(cotx)=-csc2x;(7)(secx)=secxtanx;(8)(cscx)=-cscxcotx;(9)(ex)=ex;(10)(ax)=axlna;,2.函数的和、差、积、商的求导法则,设u=u(x),v=v(x)均可导,则(1)(uv)=uv;(2)(uv)=uv+uv;(3)(Cu)=Cu;,