二次型,正定二次型幻灯片.ppt

quadraticform,二次型,1,一、二次型及其标准形的概念,称为二次型.,（我们仅讨论实二次型）,2,二、二次型的矩阵及秩,在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系,3,5.1二次型及其矩阵表示,注意,2.二次型与它的矩阵相互唯一确定，即,正因为如此，讨论二次型时矩阵是一个有力的工具.,若且，则,1.二次型的矩阵总是对称矩阵，即,（这表明在选定文字下，二次型完全由对称矩阵A决定.),4,（1）约定中aij=aji，ij，由xixjxjxi，有,5.1二次型及其矩阵表示,2、二次型的矩阵表示,5,5.1二次型及其矩阵表示,则矩阵A称为二次型的矩阵（matrix）.,6,5.1二次型及其矩阵表示,（2）,令,7,5.1二次型及其矩阵表示,于是有,8,二、非退化线性替换,5.1二次型及其矩阵表示,1、定义,是两组文字,关系式,称为由的一个线性替换;,若系数行列式|cij|0,则称为非退化线性替换(non-degeneratelineartransformation).,9,positivedefinitequadraticform,正定二次型,10,判定方法,特征值法:对称矩阵A正定的充要条件是A的特征值全大于0。化标准形法:将二次型矩阵化为标准型看系数是否都为正。定义法:用正定矩阵的定义进项判定。顺序主子式法:对称矩阵A正定的充要条件是A的所有顺序主子式全大于0。惯性指数判别法:一个对称矩阵（或相应二次型）的惯性指数其中1的个数p称为正惯性指数合同法：实对称矩A正定的充要条件是A与单位矩阵E合同。,11,正定二次型,一正定二次型的定义,1定义,设,为实二次型，若对任何,都有,则称二次型是正定的,（负定的），,并称其对应的矩阵,为正定矩阵,例,是正定的,不是正定的,（负定矩阵）。,12,证明：,必要性：,记,为,即,由,可逆矩阵可知道,又,故,是正定的。,对任意的,记,为,即,由,可逆矩阵可知道,又,故,是正定的。,充分性：,其中,对任意的,13,二正定的判断方法,惯性指数判别法,为正定的当且仅当f,n元实二次型,定理,的正惯性指数,推论,矩阵A是正定的当且仅当A的全部特征值均为正,例,设n阶矩阵A是正定矩阵，,证明,（m为正整数）也正定矩阵,注,为负定的当且仅当,n元实二次型,的负惯性指数为,14,主子式判别法,（1）定义,设n阶方阵,方阵A的前k行和前k列所成的子式,称为矩阵A的k阶主子式,15,（2）,为正定的当且仅当,n元实二次型,定理,对称矩阵A的各阶主子式都大于零。,注,为负定的当且仅当,n元实二次型,对称矩阵A的各阶满足,证明：,为负定的当且仅当二次型,即二次型,为正定的。,显然二次型,的k阶主子式为,故由定理可得。,16,例1,二次型,为t满足什么条件时，二次型是正定的；,t满足什么条件时，,二次型是负定的；,解：,二次型矩阵为,则,当,即,时二次型是正定的,当,即,时二次型是负定的,17,定义法,例3,设矩阵A,B矩阵正定矩阵，证明,均是正定矩阵。,证明：,对任意的,故,是正定矩阵。,对任意的2n维,记,其中,为n维向量,由,可得,或,故,18,例4,设,满足,证明,是正定二次型矩阵。,证明：,故A是对称矩阵。,对任意的,由,可得,记,则,故,是正定二次型矩阵。,19,例5,设,是正定矩阵,证明,反对称矩阵,是正定矩阵,证明：,对任意的,是正定矩阵,反对称矩阵,得,故,对任意的,是正定矩阵,有,由,20,合同法,5.1二次型及其矩阵表示,1.合