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文档简介

,复变函数论多媒体教学课件,DepartmentofMathematics,第三章复变函数的积分,第二节柯西积分定理,复变函数论多媒体教学课件,一柯西积分定理(1825),1定理3.3(柯西积分定理）设f(z)是单连通区域D内的解析函数，C是D内任一条周线,则,注:要证明该定理比较困难.,2定理3.4设f(z)是单连通区域D内的解析函数，C是D内任一条闭曲线(不必是简单的),则,证明:,因为C总可以看成区域D内有限多条周线连接而成,由复积分的基本性质(3)及柯西积分定理3.3,即可得证.,注:,定理要求D是单连通区域是必要的.,如:,推论3.5设是单连通区域D内的解析函数，则在D内的积分与路径无关,即对D内任意两点与,积分,证明:,由定理3.4及复积分的基本性质(3)有,因而,解,由柯西积分定理3.3,有,例1,例2,解,故积分与路径无关,则,因此,解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关,(如下图),二.不定积分,1定理3.6,证明,利用导数的定义来证.,此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似.,由于积分与路线无关,证毕,故,2定理3.7,3.原函数与不定积分的定义:,(2)原函数之间的关系:,(1)定义3.2,定理3.8,4牛顿-莱布尼兹公式,证,根据柯西积分定理,证毕,说明:有了以上定理,复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算.,例3,解,故,因为在D内,例4,解,所以,例5,解,故,三Cauchy积分定理推广,1Cauchy积分定理等价定理,证明:,于是由定理3.3有,定理3.9,例6计算下列积分,解,由定理3.9有,四Cauchy积分定理推广到复周线的情形,1定义3.3,2定理3.10,或,即,证明:,即,例7,解,由复合闭路定理,此结论非常重要,用起来很方便,因为不必是圆,a也不必是圆的圆心,只要a在简单闭曲线内即可.,例8,解,依题意知,根据
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