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文档简介
解析函数的孤立奇点与留数,留数是区别解析点与孤立奇点的重要标志；留数揭示了孤立奇点与围道积分的内在联系。,一.孤立奇点及其分类:,1.定义若f(z)在z0不解析,但在z0的某一去心邻域0|zz0|内解析,则称z0为f(z)的孤立奇点.,由定义可知，若z0为f(z)的孤立奇点，则意味着在z0的某个领域里只有z0一个奇点。并非所有的奇点都孤立，例如：,1,1).若无负幂项,则称z0为f(z)的可去奇点；,2).若只有有限个负幂项,则称z0为f(z)的极点；,若c-m0,而cn=0(n-m),则称z0为f(z)的m级极点,2.分类,由Laurent级数中负幂项的个数来分类,2,3).若有无穷多个负幂项,则称z0为f(z)的本性奇点。,判别：(1)如果z0为f(z)的可去奇点,(2)z0为f(z)的极点,(3)z0为f(z)的本性奇点：,3,二.零点与极点的关系,(1)定义:若解析函数f(z)能表示成f(z)=(zz0)m(z),其中(z0)0,且(z)在z0处解析,m为某一正整数,则称z0为f(z)的m级零点.,(2)性质,(a)如果f(z)在z0处解析,那么z0为f(z)的m级零点,f(n)(z0)=0(n=0,1,2,m1),f(m)(z0)0.,4,例1求下列函数的奇点，并指出其类型：,5,6,三.函数在无穷远点的性态,(1)分类:,则称为f(z)的孤立奇点.,令t=1/z,则t=0是(t)=f(1/t)的孤立奇点.,我们规定:若t=0是(t)=f(1/t)的可去奇点,(m级极点,本性奇点),则称z=是f(z),的可去奇点(m级极点,本性奇点).,若f(z)在z=的去心邻域R|z|+内解析,7,(2)判定,若f(z)在R|z|+内解析,则在此圆环内有,(*),8,9,关于无穷远点的孤立奇点的分类可以转化为原点情况或者利用已知函数的展开式来判定，当然这个展开式必须是无穷远点去心邻域内的Laurent展式。,10,例2.z=是,的可去奇点.,z=是g(z)=(z1)(z2)=z23z+2的二级极点.,11,四.留数,12,无穷远点处的留数,13,留数计算法：,14,2.从证明过程不难看出，即使极点的级数小于m,也可当作级数为m来计算。这是因为表达式,的系数中可能有一个或几个为零而已，这不影响证明结果。,1
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