1.2.2新北师大版八年级下数学第一章三角形的证明：直角三角形第二课时(改).ppt

新北师大版八年级下册数学,第二节直角三角形（二）,第一章三角形的证明,学习目标,1根据已知条件运用尺规作出规范图形2经历探索、猜测、证明的过程，能够证明直角三角形全等“HL”判定定理3、会熟练应用“”解决相关的实际问题。,三角形全等的判定,公理:三边对应相等的两个三角形全等（SSS）.公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）.公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）.推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）.,想一想:两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等?,两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.,如果其中一边的所对的角是直角呢?,命题的证明,命题:两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.,老师提示:举反例证明假命题千万不可忘记噢!,证明:这是一个假命题,只要举一个反例即可.如图:,由图(1)和图(2)可知,这两个三角形全等;由图(1)和图(3)可知,这两个三角形不全等;因此,两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.,做一做,已知一条直角边和斜边，求做一个直角三角。已知：求作：作法：,做一做,利用尺规作一个RtABC，C=90,AB=5cm,CB=3cm.,按照步骤做一做：,（1）作MCN=90;,（2)在射线CM上截取线段CB=3cm;,（3)以B为圆心,5cm为半径画弧,交射线CN于点A;,（4）连接AB.,动动手做一做比比看,把我们刚画好的直角三角形剪下来，和同桌的比比看，这些直角三角形有怎样的关系呢？,斜边、直角边公理,有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.,简写成“斜边、直角边”,或“HL”,前提,条件1,条件2,斜边、直角边公理(HL),在RtABC和Rt中,AB=,BC=,RtABC,C=C=90,命题的证明,两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.但如果其中一边的所对的角是直角,那么这两个三角形全等.,老师期望:你能写出它的证明过程吗?你能用根据上面的证明用文字写出一个结论吗?,已知:如图,在ABC和ABC中,AC=AC,AB=AB,C=C=900.求证:ABCABC.,分析:要证明ABCABC,只要能满足公理(SSS),(SAS),(ASA)和推论(AAS)中的一个即可.由已知和根据勾股定理易知,第三条边也对应相等.,直角三角形全等的判定定理及其三种语言,定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜边,直角边或HL).,如图,在ABC和ABC中,C=C=900,AC=AC,AB=AB(已知),RtABCRtABC(HL).,小结,“SAS”,“ASA”,“AAS”,“SSS”,“SAS”,“ASA”,“AAS”,“HL”,灵活运用各种方法证明直角三角形全等,应用,“SSS”,判断：满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么?,1.一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形.,全等,(AAS),2.一个锐角及这个锐角相邻的直角边对应相等的两个直角三角形.,全等,判断：满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么?,(ASA),3.两直角边对应相等的两个直角三角形.,全等,判断：满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么?,(SAS),4.有两边对应相等的两个直角三角形.,全等,判断：满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么?,情况1：全等,情况2：全等,(SAS),(HL),议一议,如图，已知ACB=BDA=90，要使ACBBDA，还需要什么条件?把它们分别写出来,从添加角来说，可以添加CBA=DAB或CAB=DBA；从添加边来说，可以是AC=BD，也可以是BC=AD,已知：如图,在ABC和ABD中，ACBC,ADBD,垂足分别为C,D,AD=BC,求证：ABCBAD.,A,B,D,C,证明：ACBC,ADBDC=D=90在RtABC和RtBAD中,RtABCRtBAD(HL),A,已知：如图，在ABC和DEF中,AP、DQ分别是高,并且AB=DE,AP=DQ,BAC=EDF,求证：ABCDEF,A,B,C,P,D,E,F,Q,BAC=EDF,AB=DE,B=E,分析：ABCDEF,RtABPRtDEQ,AB=DE,AP=DQ,已知:如图,D是ABC的BC边上的中点,DEAC,DFAB,垂足分别为E,F,且DE=DF.求证:ABC是等腰三角形.,学以致用,用三角尺作角平分线,再过点M作OA的垂线,如图:在已知AOB的两边OA,OB上分别取点M,N,使OM=ON;,过点N作OB的垂线,两垂线交于点P,那么射线OP就是AOB的平分线.,请你证明OP平分AOB.,P,老师期望:你能写出它的证明过程吗?,已知:如图,OM=ON,PMOM,PNON.求证:AOP=BOP.,先把它转化为一个纯数学问题:,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,两个滑梯的倾斜角ABC和DFE的大小有什么关系?,灵活应用1,如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。,解：BD=CD,RtABDRtACD(HL),灵活应用2,BD=CD(全等三角形的对应边相等）,在RtABD和RtACD中,AB=ACAD=AD,理由：ADB=ADC=90,（公共边）,ABD和ACD都是直角三角形,1、如图在ABC中，已知BDAC，CEAB，BD=CE。说明EBCDCB的理由。,解CEAB，BDAC（已知）,EBC和DCB都是直角三角形,在RtEBC和RtDCB中，,BD=CE（已知）,BC=CB（公共边）,RtEBCRtDCB(HL),练习:,练一练,如图，D为BC边上的中点，DEAB，DFAC，且DE=DF，那么DBEDCF吗？,A,B,C,P,如图：PBAB，PCAC且PB=PC,BPC=1200求BPA的度数,试一试,练习:,1,已知B=C=90，AB=CD，则ABODCO，其依据是_,AAS,2,在RtABC中，C=90，AD平分A，DEAB，则AEDACD，其依据是_,AAS,书P.12319,20,有一RtABC，C=90，AC=10cm，BC=5cm，线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AM上运动，问P点运动到AC上什么位置时，ABC才能和APQ全等？,活动和探索,回味无穷,直角三角形全等的判定定理:定理:HL).公理:（SSS）.（SAS）.（ASA）.推论:（AAS）.综上所述,直角三角形全等的判定条件可归纳为:一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;两边对应相等的两个直角三角形全等;切记!命题:两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.即(SSA)是一个假冒产品!,作业,祝你成功！,一、习题1.6第1、2、3题二、练习册1.2.2,习题1.5,驶向胜利的彼岸,1.已知:如图,D是ABC的BC边上的中点,DEAC,DFAB,垂足分别为E,F,且DE=DF.求证:ABC是等腰三角形.,分析:要证明ABC是等腰三角形,就需要证明AB=AC;,进而需要证明BC所在的BDFCDE;,而BDFCDE的条件:,从而需要证明B=C;,BD=CD,DF=DE均为已知.因此,ABC是等腰三角形可证.,老师期望:请将证明过程规范化书写出来.,习题1.5,驶向胜利的彼岸,2.已知:如图,AB=CD,DEAC,BFAC,垂足分别为E,F,DE=BF.求证:(1)AE=AF;(2)ABCD.,老师期望:请将证明过程规范化书写出来.,分析:(1)要证明AE=CF,由此AE=CF可证.,需要证明内错角A=C;,而由ABFCDE可得证.,(2)要证明ABCD,由已知条件,AB=CD,DEAC,BFAC,DE=BF.可证得ABFCDE,从而可得AF=CE.,在RtABC中，C=90，且DEAB，CD=ED，求证：AD是BAC的角平分线。分析：这是利用“HL”证明两个直角三角形全等，隐含了一条公共边。,如图，ACB=ADB=90，AC=AD，E是AB上的一点。求证：CE=DE。分析：这里要证明两次三角形全等。图，AD是BAC的角平分线，DEAB，DFAC，BD=CD，AB=AC，求证：EB=FC。,练一练,5.已知正方形ABCD中,M是AB的中点,E是AB延长线上的一点,MNDM,且交CBE的平分线于N,(1)求证:MD=MN,(2)若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上的任意一点”，其它条件不变，则结论“MD=MN”还成立吗？如果成立请证明；若不成立请说明理由,.,H,H,.,已知：如图，在ABC和DEF中,AP、DQ分别是高,并且AB=DE,AP=DQ,BAC=EDF,求证：ABCDEF,A,B,C,P,D,E,F,Q,变式1：若把BACEDF,改为BCEF，ABC与DEF全等吗？请说明思路。,变式2：若把BACEDF,改为AC=DF，ABC与DEF全等吗？请说明思路。,变式3：请你把例题中的BACEDF改为另一个适当条件，使ABC与DEF仍能全等。试证明。,思维拓展,小结,思维拓展,已知：如图，在ABC和DEF中,AP、DQ分别是高,并且AB=DE,AP=DQ,BAC=EDF,求证：ABCDEF,A,B,C,P,D,E,F,Q,变式1：若把BACEDF,改为BCEF，ABC与DEF全等吗？请说明思路。,小结,思维拓展,已知：如图，在ABC和DEF中,AP、DQ分别是高,并且AB=DE,AP=DQ,BAC=EDF,求证：ABCDEF,A,B,C,P,D,E,F,Q,变式1：若把BACEDF,改为BCEF，ABC与DEF全等吗？请说明思路。,小结,已知：如图，在ABC和DEF中,AP、DQ分别是高,并且AB=DE,AP=DQ,BAC=EDF,求证：ABCDEF,A,B,C,P,D,E,F,Q,变式1：若把BACEDF,改为BCEF，ABC与DEF全等吗？请说明思路。,变式2：若把BACEDF,改为AC=DF，ABC与DEF全等吗？请说明思路。,思维拓展,小结,探索交流,(1)ABC就是所求作的三角形吗？,（2）剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较，它们能重合吗？,(3)交流之后，你发现了什么？,想一想，在画图时是根据什么条件？它们重合的条件是什么？,到现在为止，你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？,学法指导HL是直角三角形所独有的判定方法，对于一般三角形不成立；证明直角三角形全等时，如果不能利用HL证明，也可利用其他四种方法；对于直角三角形的判定要善于利用从一般到特殊的学习方法来研究，先研究用一般方法证明两直角三角形全等，然后才考虑用特殊的方法HL。,判断,具有下列条件的RtABC与RtABC（其中CC90）是否全等?,（1）ACAC,AA（）（2）ACAC