石大概率2-1,2.ppt

8.设事件A在一次试验中发生的概率为求：（1）将试验独立重复进行250次，A至少发生一次的概率。（2）考虑试验次数时，A至少发生一次的概率。,解：设Ai表示“第i次试验中A发生”。,（1）“250次独立重复试验中，A至少发生一次的概率为,（2）在n次独立重复试验中，有,可见，当时，,注此例表明：在大量重复试验中“小概率事件至少发生一次”是几乎必然要发生的。,8.设事件A在一次试验中发生的概率为求：（1）将试验独立重复进行250次，A至少发生一次的概率。（2）考虑试验次数时，A至少发生一次的概率。,9.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份、7份、5份。随机取一个地区的报名表,从中先后抽出两份。(1)求先抽到的一份是女生表的概率p;(2)已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率q。,（教材P25第26题）,第二章随机变量及其分布,概率函数是一个事件函数,这在使用时往往不太方便.为了利用已有的数学工具来研究随机现象，我们设法把样本空间中的样本点与数联系起来，建立起样本空间与实数空间或其一部分的对应关系。这种关系就是所讲的随机变量。,引例1.掷一枚硬币试验。样本空间，,令X表示“正面出现的次数”,第一节随机变量及其分布函数,第5页,引例2在一袋中装有编号分别为1，2，3的三只球，在袋中有放回地接连取两只球，记录它们的编号，考察两只球的号码之和。,令X表示“所取两球的号码之和”,则X的取值范围为2，3，4，5，6。,由于X的取值依随机试验的结果而定，故称X为随机变量。,这里,对每个样本点X都有一个确定的值与其对应，如图所示。,一随机变量,注：,(2)随机事件可以通过随机变量来描述。如掷硬币中：,(3)随机变量的取值是有一定概率的。如,(1)随机变量的自变量为函数值为实数。,定义设随机试验E的样本空间=e。如果对于每一个都有唯一的实数X(e)和它对应，且对于任何实数x,具有确定的概率，则称X=X(e)为随机变量。,(续前例)在一袋中装有编号分别为1，2，3的三只球，在袋中有放回地接连取两只球，记录它们的编号，以X表示两只球的号码之和，求X取每个值的概率。,解X表示“所取两球的号码之和”,X可能取值为2，3，4，5，6。,类似计算其它，得：,定义：设X为一随机变量，x为任意实数，函数,称为随机变量X的分布函数。,注：的自变量和函数值都是实数,定义域.,的几何意义为：随机变量X落入区域内的概率就是分布函数在点x处的值。,分布函数可以完整地描述随机变量取值的概率情况.,二、分布函数,分布函数的性质,(1)是一个单调不减的函数；,(2),(3)在间断点是右连续的，即,如,一.离散型随机变量的定义,如果随机变量X全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个，则称X为离散型随机变量。,二.离散型随机变量的概率分布（分布律）,第二节离散型随机变量及其概率分布,则称为X的分布律。,设离散型随机变量X的所有可能取值为,结论：离散型随机变量X的分布律具有性质：,非负性：,规范性：,分布律也可用下述表格来表示：,此表称为X的分布列。,的证明：注意到,所以,例1.c为何值时才能使下列函数成为概率分布？,解：,例2.袋中有1个白球4个红球，每次从中任取一球不放回，直到取得白球为止。求取球次数X的分布律和分布函数。,解：设=“第i次取到白球”,由题意知，X的所有可能取值为1，2，3，4，5。故X的分布律为,同理,故得X的分布列为：,X的分布函数为,例2.袋中有1个白球4个红球，每次从中任取一球不放回，直到取得白球为止。求取球次数X的分布律和分布函数。,一般地，设离散型随机变量的分布列为,三.几种常见的离散型随机变量的分布,0-1分布（两点分布、贝努利分布）,其分布律为,注:对于一个只有两个结果的随机试验,我们可以用一个0-1分布的随机变量来描述它。如：产品是否为合格品；新生儿的性别；投篮是否投中；考试是否及格等。,二项分布,n重贝努利试验：设试验E只有两种可能结果：A和将试验E独立地重复地进行n次所得到的一连串试验叫n重贝努利试验。也叫做贝努利概型.,设X=“n重贝努利试验中事件A出现的次数”，则X的所有可能取值为0，1，2，n。因此X是一个离散型随机变量。,注：n重贝努利试验三大特征：(1)独立性；(2)重复性；(3)每次试验中只有两个可能结果。,问：如何求“n重贝努利试验中事件A出现k次”的概率？,显然,由于是二项式展开式的第k+1项，所以称公式(*)为二项概率公式，并称随机变量X服从参数为n和p的二项分布，记为。,特别当n=1时，二项分布就为0-1分布。,设=“第i次试验中A出现”，,例3.某人进行射击，设每次射击的命中率为0.01，独立射击400次，试求至少击中一次的概率。,解：设X=“击中的次数”，则,于是所求概率为,即X的分布律为,(教材P31例2-3),例4按规定，某种型号电子元件的使用寿命超过1500小时的为一级品，已知某一大批产品的一级品率为0.2,现从中随机地抽查20只，问20只元件中恰有k只（k=0,1,2,，20）为一级品的概率是多少？,解：由于元件总数很大，将检查视为有放回抽样，于是抽查20只元件相当于作20重贝努利试验。,设X为20只元件中一级品的只数，则,泊松分布,注：,1.社会公益方面：诸如电话交换台收到的呼叫数，公共汽车站来到的乘客数等等都近似地服从泊松分布。,2.物理学：放射性分裂落到某区域的质点数，热电子的发射，显微镜下落在某区域中的血球或微生物的数目等等都服从泊松分布。,设随机变量，令为定值，则,注：此称为二项分布的泊松逼近公式，在实际应用时一般,例（续前例3）利用上述近似公式来计算例3中的概率。,解：，。由于,所以得,泊松(Poisson)定理(简介),查P263表,例5设有独立工作的同类设备90台，每台发生故障的概率都为0.01，现配备3名维修工，每人负责包修30台，求设备发生故障无人修理的概率；若3人共同负责90台，这时设备发生故障无人维修的概率是多少？,解：设X=“第一人维护的30台中同一时刻发生故障的台数”，,=“第i人维护的30台中发生故障不能及时维修”，,则90台中发生故障而不能及时维修的概率为,(教材P32例2-5),(2)设Y=“90台中同一时刻发生故障的台数”,可见在(2)下,尽管维修工人数相同,但工作效率大大提高。,由泊松逼近，取,取,例一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离,试求随机变量X的分布函数.,解：,所以,X的分布函数为,k为某个常数。,注：本例中的F(x)可以表示为如下形式:,即F(x)可以表示一个非负函数在区间上的积分.,第三节连续型随机变量及其概率分布,一.连续型随机变量的定义,设F(x)为随机变量X的分布函数，若,其中为一非负可积函数，则X称为连续型随机变量，称为X的概率密度（分布密度）。,注：连续型随机变量的分布函数一定是连续函数。,分布函数和密度函数是相互决定的。,二.分布密度f(x)的性质,由此知，对于连续型随机变量X，有。,进而对任意a,b,有,思考：试比较密度函数与分布律的异同。,例1.验证能否成为某个连续型随机变量X的分布密度？,解：在上，但,故它不能作为随机变量X的分布密度。,练习：验证能否成为某个连续型随机变量X的分布密度？,(能,往证即可.),当时，,当时，,解：当时，,(教材P37例2-6),当时，,故随机变量X的分布函数为,三.几种常见的连续型随机变量的分布,均匀分布,如果随机变量X的分布密度为,相应的分布函数为,则称X在区间上服从均匀分布，记为。,服从均匀分布的随机变量的特点是:它落在区间内任意等长的子区间内的可能性相等，即