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文档简介

二次型及其标准形的概念,称为二次型.,1,2用矩阵表示,2,3,定义,合同矩阵有一下性质：,（1）自反性（2）对称性(3)传递性,定理设是一个可逆矩阵,若为对称矩阵,则也为对称矩阵,且,三、矩阵的合同,4,1.若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过可逆的线性变换，就得到标准形;,2.若二次型中不含有平方项，但是则先作可逆线性变换,化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.,四、配方法求二次型的标准形,5,五、用初等变换法化二次型为标准形,由上节内容知道任何一个二次型都可以表示成矩阵形式,然后，经过某个坐标变换可以将它的二次型矩阵变成对角矩阵。,其中矩阵A是对称矩阵，即AT=A。,6,我们知道，任何一个可逆矩阵都等于一系列的初等矩阵的乘积,一系列的合同运算,经过一系列的合同运算使矩阵A变成对角矩阵D,7,也就是说，我们可以通过以下步骤得到变换矩阵C以及A的对角化矩阵（二次型的标准化矩阵）。,8,9,10,解：,11,二次型的标准形为,坐标变换矩阵为,12,在原理上，我们也可以设计初等行变换来求二次型矩阵的标准形及其变换矩阵。,D为对角矩阵,13,14,二次型的标准形为：,坐标变换矩阵为,15,必须说明：,不同的初等变换过程，可以获得不同的二次型,例如：,例3中的二次型，可以继续进行合同运算,其标准形为,坐标变换矩阵为,16,以上过程告诉我们，二次型可以通过坐标变换化成标准形。,其中D是对角矩阵，主对角线上各元为d1,d2,dn,n个实数,进一步进行合同变换，可以将二次型化成如下形式：,该式称为二次型的规范形。,r是矩阵A的秩，即二次型的秩。,注意：规范型中“+”号的个数与标准型中di0的个数相同。同样，规范型中“-”号的个数与标准型中diq,如果找到不全为零的y1,y2,yn，使(4)式不成立，那么假设不成立,问题：y1,y2,yn取怎样的实数时，(4)式左端大于0，同时相应的z1,z2,zn使(4)式右端小于0？,(4),方程组的未知量个数为n，方程的个数为n-p+qq造成的。同样，pq亦会产生类似的矛盾。,由此得到p=q.惯性定理成立。,20,第二节正定二次型正(负)定二次型的概念正(负)定二次型的判别,21,为正定二次型,为负定二次型,一、正(负)定二次型的概念,例如,22,证明,充分性,故,二、正(负)定二次型的判别,23,必要性,故,推论1.实二次型正定的充要条件是其正惯性系数为n,推论2.实二次型正定的充要条件是其矩阵与n阶单位合同,推论3.正定矩阵的行列式大于零,证明：设A为正定矩阵，则CTAC=E,两端求行列式得：,24,这个定理称为霍尔维茨定理,定理2对称矩阵为正定的充分必要条件是：的各阶顺序主子式为正，即,对称矩阵为负定的充分必要条件是：奇数阶顺序主子式为负，而偶数阶顺序主子式为正，即,25,解,它的顺序主子式,
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