牛顿法求非线性方程的根

学科前沿讲座论文班级：工程力学13-1班姓名：陆树飞学号：牛顿法求非线性方程的根一 实验目的 （1） 用牛顿迭代法求解方程的根（2） 了解迭代法的原理，了解迭代速度跟什么有关题目：用Newton法计算下列方程 （1） ， 初值分别为，； （2） 其三个根分别为。当选择初值时给出结果并分析现象,当，迭代停止。二 数学原理对于方程f(x)=0，如果f(x)是线性函数，则它的求根是很容易的。牛顿迭代法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程f(x)=0逐步归结为某种线性方程来求解。设已知方程f(x)=0有近似根xk(假定) ，将函数f(x)在点xk进行泰勒展开，有于是方程f(x)=0可近似的表示为这是个线性方程，记其根为xk+1，则xk+1的计算公式为 ，k=0,1,2,这就是牛顿迭代法。三 程序设计（1）对于，按照上述数学原理，编制的程序如下 program newtonimplicit nonereal : x(0:50),fx(0:50),f1x(0:50)!分别为自变量x，函数f(x)和一阶导数f1(x)integer : kwrite(*,*) x(0)=read(*,*) x(0) !输入变量：初始值x(0) open(10,file=1.txt)do k=1,50,1 fx(k)=x(k-1)*3-x(k-1)-1 f1x(k)=3*x(k-1)*2-1 x(k)=x(k-1)-fx(k)/f1x(k) !牛顿法 write(*,(I3,1x,f11.6) k,x(k) !输出变量：迭代次数k及x的值 write(10,(I3,1x,f11.6) k,x(k) if(abs(x(k)-x(k-1)1e-6) exit !终止迭代条件end dostopend（2）对于，按照上述数学原理，编制的程序如下program newtonimplicit nonereal : x(0:50),fx(0:50),f1x(0:50)!分别为自变量x，函数f(x)和一阶导数f1(x)integer : kwrite(*,*) x(0)=read(*,*) x(0) !输入变量：初始值x(0) open(10,file=1.txt)do k=1,50,1 fx(k)=x(k-1)*3+94*x(k-1)*2-389*x(k-1)+294 f1x(k)=3*x(k-1)*2+188*x(k-1)-389 x(k)=x(k-1)-fx(k)/f1x(k) !牛顿法 write(*,(I3,1x,f11.6) k,x(k) !输出变量：迭代次数k及x的值 write(10,(I3,1x,f11.6) k,x(k) if(abs(x(k)-x(k-1)5e-6) exit !终止迭代条件end dostopend四 结果分析和讨论（1）对于方程 ， 当初始值初值分别为，时；所得结果如下分析与讨论：从计算结果可以看出，当取的初始值不同时，虽然均得到了近似解x*=1.，但收敛速度明显不同。当初始值x0充分接近于方程的单根时，可保证迭代序列快速收敛。在本例中，初始值1、0.7和0.5距方程的单根越来越远，故收敛速度越来越慢。（2） 对于方程，当初始值x0=2时计算结果如下分析与讨论：牛顿法有明显的几何解释，方程f(x)=0的根x*可解释为曲线y=f(x)与x轴的交点的横坐标。设xk是根x*的某个近似值，过曲线y=f(x)上横坐标为xk的点Pk引曲线y=f(x)的切线，并将该切线与x轴的交点坐标xk+1作为x*的新的近似值。本题中，当初始值x0=2时，在这个点的切线方程与x轴的交点恰为方程的一个根x=-98,因此迭代了两次就得到了结果。