自考第3章1复变函数的积分ppt课件

.,1,第3章复变函数的积分,1.有向曲线,1复变函数积分的概念,设C为平面上,规定了方向的曲线,C,其中A为起点,B为终点,从起点到终点的方向,称为正方向,记为C,从终点到起点的方向,称为负方向,记为C,简单闭曲线,的正向规定为:,沿着该曲线前进时,它围成的内部,始终在左侧,起点,终点,的一条光滑曲线,称为有向曲线.,.,2,2.复变函数积分的定义,设函数,定义在区域D内,C是D内起点为A,终点为B的,C,一条光滑有向曲线，,用n1个分点，,将C分成n个小弧段，,如果极限存在,则称该极限值,为函数,沿曲线C的积分,记为,如果C为闭曲线,则沿该闭曲线,的积分记为,.,3,则沿曲线C,3.积分存在的条件,如果,在区域D内,且曲线C是D内,或者是一条,一定存在,C,光滑曲线,分段光滑曲线,处处连续,一条光滑曲线,分段光滑曲线,的积分,.,4,C,起点,终点,C=C1+C2,C1,C2,4.积分的性质,若在曲线C上,曲线C的长度为L,则,.,5,写出曲线C的参数方程,5.积分的计算方法一：,参数方程代入法:,C,起点,终点,求出起点A对应的参数,终点B对应的参数,从原点到,的直线段,例如从原点到,的直线段,为中心、,半径R的圆的方程,原点为中心、,半径R的圆的方程,的参数方程为,的参数方程为,.,6,例1沿曲线,计算,起点,终点,解,参数方程为,解,参数方程为,原式,原式,.,7,例2,计算,(1)从原点到,起点,终点A,的直线段,解,参数方程为,其中C为,(2)从原点沿实轴到1,再从1垂直向上到,的折线段,(2)解,C1,C2,C1参数方程为,C2参数方程为,.,8,例3,计算,其中C为正向圆周:,解,解,.,9,例4,计算,其中C为一条闭路，,由直线段：,与上半圆周,组成,解,设,原式=,.,10,记住结论,设C：,证明：,整数,设C的参数方程为,积分算法二：,.,11,设C是以,为中心、,半径为r,整数,令,C是以原点为中心、,半径为r的正向圆周,整数,例如,的正向圆周,.,12,Th3.3若,3.2柯西积分定理,在单连通区域D内,解析,则,沿D内,的积分,证明,在D内解析,与,在D内可微，且,所以,因为,根据格林公式,一、,单连通区域上,的柯西积分定理,任何一条,封闭曲线C,为零,积分算法三：,.,13,Th3.3若,在单连通,解析,则,任何一条,的积分为零,D,C,设C是一条,Th3.4,若,在C上连续,则,，其内部为D,在D内解析、,沿D内,例1计算积分,其中C是正向圆周：,解因为函数,在闭区域,上处处解析,所以,例2计算积分,其中C,解因为函数,在复平面上,所以,区域D内,简单闭曲线,是包围原点,的闭曲线,简单闭曲线C,处处解析,.,14,例3计算积分,其中C是正向圆周：,解因为函数,在闭区域,上处处解析,所以,例4计算积分,其中C是正向圆周：,解因为函数,在闭区域,上处处解析,所以,.,15,例5计算积分,其中C是正向圆周：,因为,在闭区域,上处处解析,所以,解若,则,因为,