勾股定理的逆定理（勾股数）

18.2勾股定理的逆定理（3）,你来试试：,勾股数:像(4)中能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股(弦)数.你知道哪些勾股数?,判断由线段a，b，c组成的三角形ABC是不是直角三角形：（1）a4，b，c；（2）a6.5，b6,c2.5；（3）a13，b14，c15；（4）a15，b8，c17.,我们可以把勾股数组3、4、5记为（3、4、5），类似地，还可以得到下列勾股数组,探究1:,（1）请你根据上述四组勾股数的规律，写出第五组勾股数。,（2）试用数学等式描述上述勾股数组规律。,（3）请证明你所发现的规律。,（3、4、5），（5、12、13），（7、24、25），（9、40、41）,等等，这些数组也叫毕达哥拉斯数组。,观察分析上述的勾股数，可看出它们具有下列二个特点：1直角三角形较短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续自然数。2直角三角形的较短直角边的平方等于另两边的和。,结论.任意一个大于1的奇数n,存在着勾股数:n,m,m+1,毕达哥拉斯数组:,应用直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条直角边的长度是9，则这个直角三角形的周长是_,我们可以把勾股数组3、4、5记为（3、4、5），类似地，还可以得到下列勾股数组,探究2:,（1）请你根据上述四组勾股数的规律，写出第五组勾股数。,（2）试用数学等式描述上述勾股数组规律。,（3）请证明你所发现的规律。,（3、4、5），（8、6、10），（15、8、17），（24、10、26）,等等，这些数组也叫柏拉图数组。,探究2：观察下表,（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n1）的代数式表示：a=，b=，c=；（2）猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想。,这是古希腊学者柏拉图后来又发现了这一规律,结论.任意一个大于4的偶数n,存在着勾股数:n,m,m+2,柏拉图数组:,应用直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条直角边的长度是12，则这个直角三角形的周长是_,探究3：如果ABC的三边长分别为a,b,c,且a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(mn,m,n是正整数）则ABC是直角三角形吗？,解：a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(mn,m,n是正整数）,a2+b2=(m2-n2)2+(2mn)2,=m4-2m2n2+n4+4m2n2,=m4+2m2n2+n4,=(m2+n2)2,=c2,ABC是直角三角形。,被誉为“代数学鼻祖”的古希腊数学家丢番图在研究二次不定方程时，对勾股数作了一番探讨。他发现不论是毕达哥拉斯还是柏拉图的式子，都没能给出全部勾股数组，于是他给出了全部解的公式。,分析：先来判断a,b,c三边哪条最长，可以代m,n为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c最大。,数海拾贝,从代数的角度看勾股数,就是考察方程+=的正整数解,古代中国人发现了”勾三股四弦五”,古希腊人找到了这个方程的全部整数解.17世纪,法国数学家费马提出猜想:当n时，方程+=无正整数解，围绕着这个看似简单的费马大定理，一批杰出的数学家，如欧拉，柯西，伽罗华，还有维尔斯，他们前赴后继用了整整358年才最后完成这项证明费马大定理被人比作数论中的“喜马拉雅山的顶峰”,n,（2004福建三明中考题）据我国古代周髀算经记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连结得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五.后人概括为“勾三、股四、弦五”.观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过.计算(9-1)/2、（9+1）/2与(25-1)/2、(25+1)/2，并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；(4分)根据的规律，用n(n为奇数且n3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；(12分)继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过.运用类似上述探索的方法，直接用m(m为偶数且m4)的代数式来表示他们的股和弦.(14分),作业：,作业本；原创与经典AP28数学活动,8.先阅读以下这题解法，领悟思想后再来尝试：如图,在等边ABC中，PA=8，PB=6，PC=10，求APB的度数。,课后探讨：（1）如图1,在等腰直角ABC中，C=900，PA