高中数学人教A版必修4课件：2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义

2.4平面向量的数量积,2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义,1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.掌握向量a与b的数量积公式及投影的定义.3.掌握平面向量数量积的重要性质及其运算律,并能运用这些性质与运算律解决有关问题.,向量的数量积、向量的数乘和实数的乘法这三种运算的区别和联系剖析:从运算的定义、表示方法、性质和几何意义上来分析对比.(1)从定义上看,两个向量数量积的结果是一个实数,而不是向量;向量数乘的结果是一个向量,其长度是原向量长度的倍数;两个实数的积是一个实数.(2)从运算的表示方法上看,两个向量a,b的数量积称为内积,写成ab;大学里还要学到两个向量的外积ab,而ab是两个向量的数量积,因此书写时要严格区分,符号“”在向量运算中既不能省略,也不能用“”代替;向量的数乘的写法同单项式的写法;实数的乘法的写法我们就非常熟悉了.,(3)从运算的性质上看,在向量的数量积中,若ab=0,则a=0或b=0或ab;在向量的数乘中,若a=0,则=0或a=0;在实数的乘法中,若ab=0,则a=0或b=0.在向量的数量积中,ab=bcb=0或a=c或b(a-c);在向量的数乘中,a=b(R)a=b或=0;在实数的乘法中,ab=bca=c或b=0.在向量的数量积中,一般(ab)ca(bc);在向量的数乘中,(m)a=(ma)(R,mR);在实数的乘法中,有(ab)c=a(bc).(4)从几何意义上来看,在向量的数量积中,ab的几何意义是a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos的乘积;在向量的数乘中,a的几何意义就是把向量a沿向量a的方向或反方向放大或缩小到原来的|倍;在实数的乘法中,ab的几何意义就是数轴上ab到原点的距离等于a,b到原点的距离的积.,题型一,题型二,题型三,题型四,【例1】已知向量a与b的夹角为120,且|a|=|b|=4,则b(3a+b)的值为.解析:b(3a+b)=3ab+|b|2=3|a|b|cos120+16=-8.答案:-8反思已知向量a与b的夹角为,且|a|=m,|b|=n,求(xa+yb)(sa+tb),其中x,y,s,t,m,nR,且m0,n0,其步骤是:(1)先求ab;(2)化简(xa+yb)(sa+tb)=xs|a|2+(xt+ys)ab+yt|b|2;(3)将ab,|a|,|b|代入即可.,题型一,题型二,题型三,题型四,【例1】已知向量a与b的夹角为120,且|a|=|b|=4,则b(3a+b)的值为.解析:b(3a+b)=3ab+|b|2=3|a|b|cos120+16=-8.答案:-8反思已知向量a与b的夹角为,且|a|=m,|b|=n,求(xa+yb)(sa+tb),其中x,y,s,t,m,nR,且m0,n0,其步骤是:(1)先求ab;(2)化简(xa+yb)(sa+tb)=xs|a|2+(xt+ys)ab+yt|b|2;(3)将ab,|a|,|b|代入即可.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,分析:易知a+b+c=0,分别将a