实变函数与泛函分析基础(第三版)-----第三章_复习指导

主要内容本章介绍了勒贝格可测集和勒贝格测度的性质. 外测度和内测度是比较直观的两个概念，内外测度一致的有界集就是勒贝格可测集. 但是，这样引入的可测概念不便于进一步讨论. 我们通过外测度和卡拉皆屋铎利条件来等价地定义可测集（即定义3.2.3），为此，首先讨论了外测度的性质（定理3.1.1）. 注意到外测度仅满足次可列可加（而非可列可加）性，这是它和测度最根本的区别.我们设想某个点集上可以定义测度，该测度自然应该等于这个集合的外测度，即测度应是外测度在某集类上的限制. 这就容易理解卡拉皆屋铎利条件由来，因为这个条件无非是一种可加性的要求. 本章详细地讨论了勒贝格测度的性质. 其中，最基本的是测度满足在空集上取值为零，非负，可列可加这三条性质. 由此出发，可以导出测度具有的一系列其它性质，如有限可加，单调，次可列可加以及关于单调集列极限的测度等有关结论. 本章还详细地讨论了勒贝格可测集类. 这是一个对集合的代数运算和极限运算封闭的集类. 我们看到勒贝格可测集可以分别用开集、闭集、 型集和 型集逼近. 正是由于勒贝格可测集，勒贝格可测集类，勒贝格测度具有一系列良好而又非常重要的性质，才使得它们能够在勒贝格积分理论中起着基本的、有效的作用. 本章中，我们没有介绍勒贝格不可测集的例子. 因为构造这样的例子要借助于策墨罗选择公理，其不可测性的证明还依赖于勒贝格测度的平移不变性. 限于本书的篇幅而把它略去. 读者只须知道：任何具有正测度的集合一定含有不可测子集. 复习题一、判断题1、对任意，都存在。（ ）2、对任意，都存在。（ ）3、设，则可能小于零。（ ）4、设，则。（ ）5、设，则。（ ）6、。（ ）7、。（ ）8、设为中的可数集，则。（ ）9、设为有理数集，则。（ ）10、设为中的区间，则。（ ）11、设为中的无穷区间，则。（ ）12、设为中的有界集，则。（ ）13、设为中的无界集，则。（ ）14、是可测集是可测集。（ ）15、设是可测集列，则，都是可测集。（ ）16、零测集、区间、开集、闭集和Borel集都是可测集。（ ）17、任何可测集总可表示成某个Borel集与零测集的差集。（ ）18、任何可测集总可表示成某个Borel集与零测集的并集。（ ）19、若，则。（ ）20、若是无限集，且，则是可数集。（ ）21、若，则必为无界集。（ ）22、在中必存在测度为零的无界集。（ ）23、若，都是可测集，且，则。（ ）24、和都是可测集，且，。（ ）25、设为可测集，则。（ ）26、设为可测集，且，则。（ ）二、填空题1、若是可数集，则 0 ；为 可测 集； 0 。2、若为可测集，则 小于或等于 ；若为两两不相交的可测集，则 等于 。3、设为可测集，则 大于或等于 ；若还有，则 大于或等于 。4、设为可测集，且，则 等于 。5、设为的内点，则 大于 。6、设为康托三分集，则为 可测 集，且 0 。7、 0 ， + 。8、叙述可测集与型集的关系 可测集必可表示成一个型集与零测集的差集 。9、叙述可测集与型集的关系 可测集必可表示成一个型集与零测集的并集 。三、证明题1、证明：若有界，则。证明：因为有界，所以，存在一个有限区间，使得，从而。2、证明：若，则为可测集。证明：对任意，因为，可得，所以，从而，所以，为可测集。3.设为0，1中的全体有理数，则.（10分）证明 因为为可数集， 记为 ，对任意，取，显然, ,让0得 ，从而是可测集且.证毕.4、证明：有理数集为可测集，且。证明：因为有理数集可数集，从而，所以，为可测集，且。5、证明：若，都是可测集，且，则；若，则上面的结论还是否成立。证明：因为，且，所以，。又，所以，。若，则上面的结论不一定成立。6、若中的区间为可测集，则中的开集为可测集。证明：由中开集的结构得，中的开集或为空集，显然是可测集；或为至多可数个互不相交的开区间的并集，而区间是可测集，至多可数个可测集的并集还是可测集，所以，它还是可测集。综上所述，结论成立。7.证明对任意可测集合A和B都有 证：因，又，所以又，故 于是得.移项即证毕.8.证明Cantor集合的测度为零.证：设cantor集合C，并设A是0,1中被挖去的点的集合.A=则,由于A为互不相交的开区间的并，故为可测集，于是C亦为