第十章重积分电子教案第三节_第1页
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一、三重积分的概念,二、三重积分的计算,一、三重积分的概念,定义设f(x,y,z)是空间有界闭区域上的有界,函数,将任意分成n个小闭区域v1,v2,vn,其中vi表示第i个小闭区域，也表示它的体积.,在每,个vi上任取一点(i,i,i)，,作乘积f(i,i,i)vi,(i=1,2,n)，,并作和,如果当各小,闭区域直径中的最大值趋于零时这和的极限存在，,则称此极限为函数f(x,y,z)在区域上的三重积分.,记作,即,其中dv叫做体积元素.,在直角坐标系中，体积元素,dv=dxdydz.,三重积分也有与二重积分完全类似的性质.,二、三重积分的计算,(1)坐标面投影法,1.利用直角坐标计算三重积分,设积分区域向xOy面投影区域为Dxy，且能够,表示为,区域的特点：,任何一条垂直于xOy面且穿过内部的,直线与的边界曲面相交不多于两点.,Dxy,若,则,即,先定后重,先对z、次对y、最后对x,若,则,若,则,例1计算三重积分,其中为三个坐标面,及平面x+2y+z=1所围成的闭区域.,(2)坐标轴投影法(截面法),p,q,Dz,将空间区域向z轴作投影得一投影区间p,q,且能表示为,Dz为竖坐标为,z的平面截所得的平面区域.,适用范围,二重积分,容易计算，其结果对z再,进行积分也比较方便.,先重后定,例2计算,其中为椭球体,2.利用柱面坐标计算三重积分,设M(x,y,z)为空间内一点，,P为M在xOy面上的,投影，,且P的极坐标为(,).,则称(,z)为点M的,柱面坐标.,规定,三组坐标面分别为,=常数，以z轴为中心轴的圆柱面；,=常数，过z轴的半平面；,z=常数，垂直于z轴的平面.,直角坐标与柱面坐标的关系,如图所示,在柱面坐标系中体积元素为,因此,其中,适用范围,(1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单;,(2)被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.,其中为由柱面,例3计算三重积分,所围成半,及平面,圆柱体.,例4计算三重积分,x2+y2=4z与平面z=h(h0)所围成.,其中由抛物面,3.利用球面坐标计算三重积分,设M(x,y,z)为空间内一点，,则点M也可用这样三,个有次序的数r,来确定：,：,与z轴正向的夹角；,r：,：,与x轴正向的夹角.,r,的范围：,三组坐标面分别为,r=常数，以原点为心的球面；,=常数，以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面；,=常数，过z轴的半平面.,直角坐标与球面坐标的关系,如图所示,在球面坐标系中体积元素为,因此有,其中,适用范围,(1)积分域表面用球面坐标表示时方程简单;,(2)被积函数用球面坐标表示时变量互相分
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