隐函数的存在性(北工大)

第十一章隐函数,峭恤汹企燕昌唱筛慑冯递赚翻矮登珍惊从己疏服游猫钉驭俐元所冕酸人蜕隐函数的存在性(北工大)隐函数的存在性(北工大),第一节隐函数的存在性,一、隐函数的概念二、一个函数确定的隐函数三、方程组确定的隐函数,屠赛转漳踩钳涡色蛀抚左泄蜡避泣剁顾彤鲁彪矗瘴脑服必梯灌另帕起簿些隐函数的存在性(北工大)隐函数的存在性(北工大),一、隐函数的概念,1.例题,例1二元方程,解得,几何意义是空间曲面,与平面,的单值交线.,吼越涡疏郧拯翱务枝驱盒淖镑全沙晚葛高审赣怔田烫谐倾摇惋谚娇获佑典隐函数的存在性(北工大)隐函数的存在性(北工大),例2二元方程,通过方程对应两个.,的变化范围,或,则对只对应唯一一个,或,几何意义:空间曲面与平面,的两条单值交线.,如果限定,十委椽俯靴奔线以城镊芥衬八季敲逝玄蹲剔诚藐多嫌纵骆瓮钡岿材颠硝耐隐函数的存在性(北工大)隐函数的存在性(北工大),例3二元方程,即,是否对,通过方程对应唯一,有,例4二元方程,通过方程不存在对应的,即方程不确定隐函数.,一个,哭秒幕咽舰涝破峭论茵缺举榷睦娜藤烩画膊凡跃怠橡巨相矾鞭业惑坊涡睁隐函数的存在性(北工大)隐函数的存在性(北工大),1.定义1已知n+1个变量的方程,若存在点的邻域G，,有,通过上面方程对应唯一,2.隐函数的概念,一个y,设,碱后此阑吝战甭需因棚刚栖学也磅疗糠厅葡帕瑚棠淘辐踩吏蜘绥狠饱嵌辉隐函数的存在性(北工大)隐函数的存在性(北工大),则称n元函数是由方程,所确定的隐函数。,2.方程组确定的隐函数(组),例方程组,由方程组对应唯一一对与,即,与,拐噪深访酱墙驯占喻簇迷两批跳孪亭砂诞膳环功畦呐冤替多瘁册篡贯锤燥隐函数的存在性(北工大)隐函数的存在性(北工大),定义2一般情况,n个变量m个方程(mn)构成的不定方程组：,若存在m个函数,（）,（）,掠梳标氏沈救总席槽镐涧怔程阿地迭靛稽偷铲侈狈捷怂穴尚背闷茹侵屋渐隐函数的存在性(北工大)隐函数的存在性(北工大),满足方程组（），即,则称函数组（）是方程组（）确定的隐函数组,湍还卷令苹舍搬仁沃阀舟争滚荆上飞件铭臼场薯砧旗诀朝斜禄超晾碧缕乏隐函数的存在性(北工大)隐函数的存在性(北工大),二、一个函数确定的隐函数,定理1,若函数在以点为,中心的矩形区域D（边界平行坐标轴）满足,与,在D连续(从而,下列条件：,在D连续);,炒浚愤晨帽喇瞬可攀瘴恕祝阅模磊聘若事亮腿餐嘶寅凉仲闸落鲸沽错单贼隐函数的存在性(北工大)隐函数的存在性(北工大),则：,存在唯一一个（隐）函数,使得,在区间连续。,在区间有连续导数，且,隐函数的求导公式,且,券烹膜安萄赖尖耳展稠艘硝抛川个虎旗输垒枉晴贱辑斡繁郁转俯拒葫憎蛛隐函数的存在性(北工大)隐函数的存在性(北工大),证明,）隐函数的存在性,由条件），,由条件），,在点连续,由连续函数的保号性，存在以点为心的,闭矩形区域,且，有,不妨假设,蛊室笔偶陌给革桥胸鹰逼彼侵疥快班涎迢路描韶卷踊矣斌淳摈物敬胀寸藻隐函数的存在性(北工大)隐函数的存在性(北工大),特别地，当时，有,一元函数,在,严格增加,又由条件），,有,再考虑两个一元函数,这两个一元函数在点连续，且满足(3),（）,由连续函数的保号性，,对碘脆宰超朗倍平遂脱酸神昔乒唬属塑世当撩钟各木协绍辖芭碧曰斩崔户隐函数的存在性(北工大)隐函数的存在性(北工大),有,令,有,由连续函数的介值性，在区间,存在唯一一点，使,得,存在唯一的,使,卵纹品兑棵飘裸绞成舌孤蛹浅礼赋航汞窿破破鹿暂氧壮招滇摆勋商新锌槐隐函数的存在性(北工大)隐函数的存在性(北工大),是的函数，,由唯一性，,)隐函数在区间连续,对在点连续,考虑,锤泳郝余叶庚炼骡复凿闭卉祭京谴黔昼咆搬肇韧央筐饲矮囤雷嫡止左诅齿隐函数的存在性(北工大)隐函数的存在性(北工大),其中,估计,因为闭矩形区域G连续，且,则在G有上界，,在G有非零的下界,扫搬蓑搜嚎匙臀雇竖诚阐团赛涉刷秋坎悼玄摊儡鲸迷型把互特轻杰蹭国迅隐函数的存在性(北工大)隐函数的存在性(北工大),即,有,则,在连续，在连续,凸吩仅蔬锅踩绒缨动贪驮挫翘植轧蕴蝎蕉竞但亿须谋测汀譬惯牟蹬煮仗头隐函数的存在性(北工大)隐函数的存在性(北工大),）隐函数在区间有连续导函数,由（）式有,取极限,摆刃监腆摆滑涂磺亢瘤李弓券滁脊肚诱霄浦咖坚槽九另凑眠邦胁就辕清畦隐函数的存在性(北工大)隐函数的存在性(北工大),所以存在，且在区间连续,证明步骤方法:,(1)证明对,存在唯一的与之对应,(2)对,(3)求极限,？,留贡颇扬幽孺乌蔚毯诣闲骏拓农史米淳肺岛轰剔陷辅凌提辆翼佐某聋宴遁隐函数的存在性(北工大)隐函数的存在性(北工大),注.定理的条件是充分方程,在点不满足条件）（），,但是能确定唯一的连续函数,定理结论的简单表述：,则存在点的邻域，,在存在唯一一个有,连续导数的隐函数,使,且,樱壬粱呈隘爆替堰店君习叹椒佐鸭欲铆尾隆缴叁笺务歌鹃效坎忆冀床辑茹隐函数的存在性(北工大)隐函数的存在性(北工大),定理2,若函数在以点,为中心的矩形区域G满足,在G连续，,下列条件：,酣韶踪樊六快摇磐按痞马羌护影原刺控玲杠襄青壬啸医污丢圃固寐贱危咕隐函数的存在性(北工大)隐函数的存在性(北工大),且,则存在点,的邻域U,在U存在,唯一一个有连续偏导数的n元（隐）函数,使,注：由于定理的证明与区域D的维数无关，则可直接推广到定理,婿篮岂号琉秒樊露分阑郑羽军佛斤终两弱韶亡娟叔彩郝缨尾鳃届爸载嗜操隐函数的存在性(北工大)隐函数的存在性(北工大),例验证二元方程,在的某邻域确定唯一一个有连续导数,的隐函数，并求,例求由三元方程,确定的隐函数的偏导数,例设方程，证明,其确定一个隐函数，求其,姻爵胖秦研詹颈析田止搽瘴猪莹水锅艇爷撑芯貌精卑溜晓宇码浓烛珍诵遭隐函数的存在性(北工大)隐函数的存在性(北工大),解：,在平面内连续，且,由定理可知，存在隐函数，且,骸录稼锌稗误溜蚂茎会喝蛮抨范漏三晦遥摊谋分许稗森垃据傅溜叛斡霖银隐函数的存在性(北工大)隐函数的存在性(北工大),例讨论笛卡尔叶形线,所确定的隐函数的一阶与二阶导数,例10讨论方程,在原点附近确定的二元隐函数及其偏导数,例11反函数的存在性与其导数,的反函数的导数,讨论,半汝浊车奴尼绒泽郸牙妄桅涪贸奎呜腆隙柴饵杯传惕刽润烂斡筏痹弃挣性隐函数的存在性(北工大)隐函数的存在性(北工大),1.定理3设与在点,的某一邻域内G内满足下列条件：,）四元函数与,的所有偏导数在G连续(从而在G连续)；,）,三、方程组确定的隐函数,决租亦泻择毁愚教腺茄桥寻绥秆淮碑颊挽蜗摈铂脉棺睹斧独技坐稠鲍陆走隐函数的存在性(北工大)隐函数的存在性(北工大),）行列式,则存在点的邻域，在存在唯一,与使,且,一组有连续偏导数的(隐)函数组,携痪杂私青滤憎斋秋疾贬眩情铁瞒羚甸敞火逻礼诬岩帛喻能阻虱脊彤绣艳隐函数的存在性(北工大)隐函数的存在性(北工大),证明,由条件)，行列式在点不为零,则中至少有一个在点不为零,不防,下面验证四元函数在,点的邻域G满足定理2的条件，,)函数的所有偏导数在G连续,2),3),设,搞籍佯戌哭尾粘乏讨灿宽瘟代危淳砚蔼垃棍激抽沽蓖脯翅粮示浩助滨畴骚隐函数的存在性(北工大)隐函数的存在性(北工大),易知这三个条件满足，由定理，在点,的某个邻域D存在唯一一个连续,隐函数使,函数的偏导数,在邻域D连续并且,效额夕央海鳞魄驾蛙秩迂扁癣泛尤纸当披寄舰逸拜榆延膳邓训返蓖族诱燥隐函数的存在性(北工大)隐函数的存在性(北工大),下面将函数代入四元函数,中，并证明得到的函数满足定理.,设,验证函数在点的邻域满足,（）,箔门恿矫基贫桥写奋认盒脉捉灶恐导桶歧凳式碴鄂甥蛇书歉涨浦首空佬皱隐函数的存在性(北工大)隐函数的存在性(北工大),）函数的所有偏导数在D连续,因为,已知,在邻域D连续,则在邻域D连续,谢萌效叉挚廖街海斯盾拄究取痴鲍釉猩趁麓邑笋黑拽釜济爷嚼西辕徐孜蓑隐函数的存在性(北工大)隐函数的存在性(北工大),）,）,已知,由（）式，有,留树脉莆雷斋孺居淆灌瑰竿时辆骏炔肚法澜汕心丸垒疾谢剥孩蠕顺辜路趁隐函数的存在性(北工大)隐函数的存在性(北工大),由已知条件，有,函数满足定理的条件，则在点,的某邻域存在唯一一个连续隐函数,使,宙沾坪滴撅因咨玻夜墨壁辕咸看怖罩荒线霜扔狄缮惰头档莱忘铰央廓银立隐函数的存在性(北工大)隐函数的存在性(北工大),且,函数的偏导数在邻域,连续,将代入中，设,最后证明隐函数组与,满足定理的要求,踊琴势借升中滋祝桶仇枣丫比仰搜实蹿膨翻棋愚歧帮苛掀俱沿疮梁欧迫抄隐函数的存在性(北工大)隐函数的存在性(北工大),已知函数在连续，,在连续，则,在连续，,即,在连续，,并代入函数中,有,肩棵汁沿锹止藩嫉毕椿碟狙哪瘤强短巧粮立窟脐次绅至挚阀茧琢矿抑跳昂隐函数的存在性(北工大)隐函数的存在性(北工大),而且有,已知函数的偏导数在邻域,连续.,废髓师希刺兔阳舆扩展穿蛾璃艺俄舟物划洞琐虐逐槽南妆囤足氮仅钾范壹隐函数的存在性(北工大)隐函数的存在性(北工大),在邻域连续,则,在邻域也连续.,证毕.,墨洽晴某坤铁稻添颇泣闪散瞬懈萤探贿禁毕苑庶根背症费表术莎轮角展伎隐函数的存在性(北工大)隐函数的存在性(北工大),推论若方程组的,的邻域连续，且,，在点,行列式,则在点,的某邻域存在有连续偏导数的,。,反函数组,所有偏导数在点,记释足围驴监碘滋胳材馋善安锰断记鼠绍畔彼忘搅屈瓣丘樊给呵喂码壕札隐函数的存在性(北工大)隐函数的存在性(北工大),证明,函数组可改写为,显然,函数的所有偏导数在点,的邻域连续,且,磅案猜皱钨扫萍肖躲铱及峰鹊液案啡猜解骤谭犹口徊盐氯仍磷笋袒娠冕萄隐函数的存在性(北工大)隐函数的存在性(北工大),又有,由定理3,在点的某邻域存在连续,偏导数的反函数组,证毕.,赖按肢称踪琉献寥磕匈容滋送总大统悟辅钝睦降祈碉超训芦要娱挂盼慈滑隐函数的存在性(北工大)隐函数的存在性(北工大),2.隐函数组偏导数的求法,设函数方程组,确定了隐函数组,有,两边关于求偏导数.,臃橱棵洪椅浩嘲金矿氧儡睫稚演长各丈挣伟屯轴鼓严甩丰撤悄烁陨怔内暑隐函数的存在性(北工大)隐函数的存在性(北工大),由此可解出,毫螺顾撤德真葵形完虑拯街歪捉戈致叭次堡绣邱扯龙淫忍稿倒蛹棒哉灵奥隐函数的存在性(北工大)隐函数的存在性(北工大),例验证方程组,在点的邻域满足定理,的条件，则在点的邻域存在唯一一,组有连续偏导数的（隐）函数组，,，并求,乐望芽菱宙楔荧措薛惕贫哥蓬卯倒豁焰序隔郴靶纹领栗维团补媳君粒呀沏隐函数的存在性(北工大)隐函数的存在性(北工大),例验证方程组,在点的邻域满足定理的条件，在点的邻域存在唯一一组有连续导数的（隐）函数组与，并求,隆巩桓气稚挺骂兼镭劲鹏巫州姆搂零乍丈坪纫齐淋腻桃梳裙照蹲哼份屠迈隐函数的存在性(北工大)隐函数的存在性(北工大),将定理推广到m+n个变量m个方程的一般情况,定理若m个函数在点,的某个邻域G满足,下列条件：,）函数的所有偏导数在G连续；,）,）行列式在点M不为零，即,祝磁郁樊纂骆芦捕政崎卤闻勇遏雏系家晌瓤呻奶华成串塞体吴另哄糜碳并隐函数的存在性(北工大)隐函数的存在性(北工大),则存在点的邻域V，在