运筹学 单纯形法 应用举例.ppt

第七节应用举例,熟悉建立模型的方法步骤,建模是运筹学方法的核心和精髓。一个经济、管理问题要抽象为数学模型，须满足下列几个条件：问题的目标能用某种效益指标度量大小程度，并能用线性函数描述目标的要求；达到目标有多种方案；要达到目标的约束条件可用线性等式或不等式来描述。工业原料的合理利用。,要制作100套钢筋架子，每套有长2.9m、2.1m和1.5m的钢筋各一根。已知原材料长7.4m，应如何切割，使用原材料最节省。解：所谓合理利用原材料，就是要使料头总长最少。表1.14是节省材料的几种较好方案。,设按种方案下料的原材料数x1根，方案用x2根，方案用x3根，方案用x4根，方案用x5根，根据表1-14可列出约束条件：,目标是使用料最少，即,方案选择。某厂计划期分为n各阶段，在第j(j=1,n)个阶段，生产上要用rj个专用工具。到阶段末，凡在这个阶段内使用过的工具都应该送去修理后才能再使用。修理分两种，一是慢修，即等某种规格工具积压到一定批量后集中修，每件b元，需要p个阶段能取回。二是送去后立即修，这样费用贵一些，每件c(cb)元，q(qp)个阶段可取回。新购一个这样的工具需a(ac)元。,用xj表示第j个计划阶段新购的工具数；yj表示第j阶段末送去慢修的工具数；zj表示第j阶段末送去快修的工具数；sj表示j阶段木工具的存储数。则每个阶段需用的工具数rj有以下关系式rj=yj+zj+sj+sj-1(j=1,n)rj=xj(j=1,q+1)rj=xj+zj-q-1(j=q+2,p+1)rj=xj+zj-q-1+yj-p-1(j=p+2,n)且yn-p=yn-p+1=yn=0zn-q=zn-q+1=zn=0,所以上述问题可描述为下面线性规划模型：,xj=rj(j=1,q+1)xj+zj-q-1=rj(j=q+2,p+1)xj+zj-q-1+yj-p-1=rj(j=p+2,n)yj+zj+sj+sj-1=rj(j=1,n)yj=0(jn-p)zj=0(jn-q)xj,，yj，zj，sj0,混合配料问题。某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不用牌号的糖果甲、乙、丙。已知各种牌号中A、B、C含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种牌号糖果各多少公斤，使该厂获利最大。建立问题的线性规划模型。,解：用i=1,2,3分别代表原材料A、B、C，用j=1,2,3分别代表甲、乙、丙。设xij为生产第j种糖果使用的第i种原料的公斤数，则问的数学模型为：,原料供应限制,含量要求限制,用单纯形法求得,即该厂每月生产甲种牌号糖果1812/3kg，乙种牌号糖果4793/3kg，不生产丙种牌号糖果，才能获利最大。,注：最后要解释最优解的实际意义。,例某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，数据如右表。问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？,解：设xij表示第i种（甲、乙、丙）产品中原料j的含量。这样我们建立数学模型时，要考虑：对于甲：x11，x12，x13；对于乙：x21，x22，x23；对于丙：x31，x32，x33；对于原料1：x11，x21，x31；对于原料2：x12，x22，x32；对于原料3：x13，x23，x33；目标函数：利润最大，利润=收入-原料支出约束条件：规格要求4个；供应量限制3个。,利润=总收入-总成本=甲乙丙三种产品的销售单价*产品数量-甲乙丙使用的原料单价*原料数量，故有目标函数Max50（x11+x12+x13）+35（x21+x22+x23）+25（x31+x32+x33）-65（x11+x21+x31）-25（x12+x22+x32）-35（x13+x23+x33）=-15x11+25x12+15x13-30 x21+10 x22-40 x31-10 x33约束条件：从第1个表中有：x110.5(x11+x12+x13)x120.25(x11+x12+x13)x210.25(x21+x22+x23)x220.5(x21+x22+x23),从第2个表中，生产甲乙丙的原材料不能超过原材料的供应限额，故有(x11+x21+x31)100(x12+x22+x32)100(x13+x23+x33)60通过整理，得到以下模型：,目标函数：Maxz=-15x11+25x12+15x13-30 x21+10 x22-40 x31-10 x33约束条件：s.t.0.5x11-0.5x12-0.5x130（原材料1不少于50%）-0.25x11+0.75x12-0.25x130（原材料2不超过25%）0.75x21-0.25x22-0.25x230（原材料1不少于25%）-0.5x21+0.5x22-0.5x230（原材料2不超过50%）x11+x21+x31100(供应量限制）x12+x22+x32100(供应量限制）x13+x23+x3360(供应量限制）xij0,i=1,2,3;j=1,2,3,例.汽油混合问题。一种汽油的特性可用两种指标描述，用“辛烷数”来定量描述其点火特性，用“蒸汽压力”来定量描述其挥发性。某炼油厂有1、2、3、4种标准汽油，其特性和库存量列于表4-6中，将这四种标准汽油混合，可得到标号为1，2的两种飞机汽油，这两种汽油的性能指标及产量需求列于表4-7中。问应如何根据库存情况适量混合各种标准汽油，既满足飞机汽油的性能指标，又使2号汽油满足需求，并使得1号汽油产量最高？,表4-6,表4-7,解：设xij为飞机汽油i中所用标准汽油j的数量(L)。目标函数为飞机汽油1的总产量：,库存量约束为：,产量约束为飞机汽油2的产量：,由物理中的分压定律，可得有关蒸汽压力的约束条件：,同样可得有关辛烷数的约束条件为：,综上所述，得该问题的数学模型为：,人事安排某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下：设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?,解：设xi表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数,这样我们建立如下的数学模型。目标函数：Minx1+x2+x3+x4+x5+x6约束条件：s.t.x1+x660 x1+x270 x2+x360 x3+x450 x4+x520 x5+x630 x1,x2,x3,x4,x5,x60,例一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所示。为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？,解：设xi(i=1,2,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。目标函数：Minx1+x2+x3+x4+x5+x6+x7约束条件：s.t.x1+x2+x3+x4+x528x2+x3+x4+x5+x615x3+x4+x5+x6+x724x4+x5+x6+x7+x125x5+x6+x7+x1+x219x6+x7+x1+x2+x331x7+x1+x2+x3+x428x1,x2,x3,x4,x5,x6,x70,生产问题某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。该公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？,解：设x1,x2,x3分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数，x4,x5分别为由外协铸造再由本公司加工和装配的甲、乙两种产品的件数。求xi的利润：利润=售价-各成本之和产品甲全部自制的利润=23-(3+2+3)=15产品甲铸造外协，其余自制的利润=23-(5+2+3)=13产品乙全部自制的利润=18-(5+1+2)=10产品乙铸造外协，其余自制的利润=18-(6+1+2)=9产品丙的利润=16-(4+3+2)=7可得到xi（i=1,2,3,4,5）的利润分别为15、10、7、13、9元。,通过以上分析,可建立如下的数学模型:目标函数：Max15x1+10 x2+7x3+13x4+9x5约束条件：5x1+10 x2+7x380006x1+4x2+8x3+6x4+4x5120003x1+2x2+2x3+3x4+2x510000 x1,x2,x3,x4,x50,例永久机械厂生产、三种产品，均要经过A、B两道工序加工。设有两种规格的设备A1、A2能完成A工序；有三种规格的设备B1、B2、B3能完成B工序。可在A、B的任何规格的设备上加工；可在任意规格的A设备上加工，但对B工序，只能在B1设备上加工；只能在A2与B2设备上加工。数据如表。问：为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？,解：设xijk表示第i种产品，在第j种工序上的第k种设备上加工的数量。建立如下的数学模型:s.t.5x111+10 x2116000（设备A1）7x112+9x212+12x31210000（设备A2）6x121+8x2214000（设备B1）4x122+11x3227000（设备B2）7x1234000（设备B3）x111+x112-x121-x122-x123=0（产品在A、B工序加工的数量相等）x211+x212-x221=0（产品在A、B工序加工的数量相等）x312-x322=0（产品在A、B工序加工的数量相等）xijk0,i=1,2,3;j=1,2;k=1,2,3,目标函数为计算利润最大化，利润的计算公式为：利润=（销售单价-原料单价）*产品件数之和-（每台时的设备费用*设备实际使用的总台时数）之和。这样得到目标函数：Max(1.25-0.25)(x111+x112)+(2-0.35)x221+(2.80-0.5)x312300/6000(5x111+10 x211)-321/10000(7x112+9x212+12x312)-250/4000(6x121+8x221)-783/7000(4x122+11x322)-200/4000(7x123).经整理可得：Max0.75x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.9148x312-0.375x121-0.5x221-0.4475x122-1.2304x322-0.35x123,投资问题某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%；项目B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元；项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万元；项目D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元。据测定每万元每次投资的风险指数如右表：问：a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？,解：1）确定决策变量：连续投资问题设xij(i=15，j=14)表示第i年初投资于A(j=1)、B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)项目的金额。这样我们建立如下的决策变量：Ax11x21x31x41x51Bx12x22x32x42Cx33Dx24,2）约束条件：第一年：A当年末可收回投资，故第一年年初应把全部资金投出去，于是x11+x12=200；第二年：B次年末才可收回投资，故第二年年初有资金1.1x11，于是x21+x22+x24=1.1x11；第三年：年初有资金1.1x21+1.25x12，于是x31+x32+x33=1.1x21+1.25x12；第四年：年初有资金1.1x31+1.25x22，于是x41+x42=1.1x31+1.25x22；第五年：年初有资金1.1x41+1.25x32，于是x51=1.1x41+1.25x32；B、C、D的投资限制：xi230(i=1、2、3、4)，x3380，x241003）目标函数及模型：a)Maxz=1.1x51+1.25x42+1.4x33+1.55x24s.t.x11+x12=200 x21+x22+x24=1.1x11；x31+x32+x33=1.1x21+1.25x12；x41+x42=1.1x31+1.25x22；x51=1.1x41+1.25x32；xi230(i=1、2、3、4)，x3380，x24100 xij0(i=1、2、3、4、5；j=1、2、3、4）,b)所设变量与问题a相同，目标函数为风险最小，有Minf=x11+x21+x31+x41+x51+3(x12+x22+x32+x42)+4x33+5.5x24在问题a的约束条件中